一道高考數學題的3D設計解題方案

◆山東省臨沂沂州實驗學校 徐勤波

3D技術作為一種新興技術逐漸興起，在許多高科技領域得到了廣泛應用。3D打印技術在空間幾何學的應用研究領域具有得天獨厚的優勢，對學生空間思維能力的培養發揮著較大作用。

立體幾何是考察學生空間思維能力的重要途徑，對學生的空間思維能力提出了更高的要求。3D打印技術的出現將難懂的空間想象變為直觀的數學模型，大大降低了解決問題的難度。現以2019年高考數學全國卷Ⅲ的填空題第16題為例，運用3D方案作解題說明。

（2019全國Ⅲ.16）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型，如圖。該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后得到的幾何體，其中O為長方體的中心，E、F、G、H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原材料的質量為（ ）。

【題目分析】

這是一道典型的立體幾何圖形題，只要頭腦中有清晰的立體圖形概念，分三步即可得出答案。第一步：求出四棱錐的體積；第二步：用六面體的體積減去四棱錐的體積；第三步：用體積乘以密度得到質量。在此題中第一步尤為關鍵，如果先求出底面積，再乘以高，這樣的過程在考試中不僅耗時，在思維上也缺乏一定的空間整體性。

【解題過程】

∵E、F、G、H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，AA1=4cm，

∴四棱錐O-EFGH的體積

又∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V2=6×6×4=144（cm3）

∴該模型的體積V=V2-V1=132（cm3），

∴制作該模型所需原材料的質量為132cm3×0.9g/cm3=118.9g。

上述解答，完全脫離后可以看出，題中3D僅僅是一頂高大上的帽子，解決問題的思路與3D毫無關聯，給人以“穿新鞋、走老路”的感覺。

【3D解題設計】

上述高考題的解題思路在于建立空間立體圖形概念，如果學生具備3D網絡建模經驗，很快就能構思出如圖1的空間圖形。

圖1 3D建模圖形

本題的關鍵是求出b的體積，而b的體積是a減去c的體積所得。d為b加上c的還原圖形。在熟練掌握3Done建模軟件的基礎上，我們可以進行如下三步操作。

第一步：按題目要求建立一個六面體。草圖繪制一個正方形，通過拉伸平面創建六面體，求得體積為長×寬×高，即6cm×6cm×4cm=144cm3。

第三步，將a和c的體積相減，得出b的體積。通過顯示立方體，把立方體和四棱錐放在一起，再通過減法運算，便可得出b的形狀，這是本道題的關鍵圖形。

其體積為六面體體積減去四棱錐的體積，即144cm3-12cm3=132cm3。

打印制作該模型所需原料的質量為：體積乘以密度，即132×0.9=118.8（g）。

圖2 3D解題建模過程示意圖

圖3 3D解題建模過程示意圖

圖4 3D解題建模過程示意圖

【題目拓展】

本題是一道數學與實際應用的結合題，通過題目的設計，讓數學貼近于生活，我們可以有更多的思考和實踐驗證3D打印技術在生活中的應用，從而提升學生對數學學科的學習興趣。

拓展一：使用相等的材料，如果四棱錐的頂點不變，底面還可以是什么樣的形狀？

拓展二：如果底面保持不變，四棱錐的頂點還可以在什么位置？

針對拓展一的問題：e為右側面的上視圖，可以看出，四棱錐的底面積為右側面的一半。所以，可以改變四邊形的形狀，保持其中一組對角線上兩個點的連線平行于六面體的棱，如f所示，就可以使底面積始終保持不變。另外，除了底面是四邊形之外，還可以是三角形，如g所示，底面積也是右側面的一半。

針對拓展二的問題，如果底面不變，可以改變四棱錐的頂點位置，只要保持在經過長方體的中心且平行于四棱錐底面的截面上，則四棱錐的調試就沒有變化，體積也不會發生變化。

圖5 拓展試驗分析圖

【打印驗證】

通過理論研究，我們可以設計不同的建模圖形，3D打印機的切片軟件可以更直觀地檢測設計物體所使用材料的長度及質量，從而與題目中的3D打印的質量對應起來。

3D打印技術與各學科知識融合有利于加深學生對學科知識的理解，增加學生主動獲取知識的學習興趣與學習動力。我們可以將3D打印與各學科教學有機融合。比如，將中國古代青銅器的藝術文化與歷史、美術、數學、物理等學科知識融合。通過了解青銅文化、紙質繪圖、網絡建模、打印作品、小組展示等課堂教學環節，創作出學生們喜歡的個性化3D作品。