解題反思孕“念頭” 回歸教材尋“源頭”
——高三解題教學中回歸教材的幾則案例及思考

花 奎 張曉飛

(南京師范大學第二附屬高級中學 211900)

1 問題提出

高三數學復習中要重視回歸教材和解題教學已成為全體教師的共識.但在教學現實中，回歸教材卻被大量的數學練習和解題所淹沒，成了一種空洞的口號，解題教學倒是貫穿了高三復習的始終.可以說解題教學的高效與否很大程度上決定了高三數學復習的成敗.解題教學的課堂上，教師(或某些極少數優秀生)一言堂、滿堂灌的現象普遍存在，對學生有什么樣的想法，對問題的初始研究遠遠不夠，將解題教學演變成“題海戰術”，導致學生對數學概念、方法和思想的理解不到位，呆板地記住方法，遇到熟悉的問題，套路化求解，一旦問題的情境發生變化，就不能認識其本質，找不到思路方法.因此，在高三的解題教學中，不僅要幫助學生總結歸納方法，還要充分展示思路方法的發現過程，捕捉學生的一些念頭，適時回歸教材，幫助學生深刻理解知識及思想方法的內涵，領悟問題的本質.下面以高三解題教學中的幾則案例，談談借助學生的念頭適時回歸教材的點滴思考.

2 幾則案例

2.1 探知識之源，識其命題背景

(2)點C的坐標為(-5,1)(過程略)；

圖1

探究源頭這一試題和參考答案經常出現在各類教輔資料書中，較為典型.這道試題是如何命制出來的，命題的背景是什么呢？源頭在哪里呢?

對于數學解題，“退”是一種策略，回到起點，往往更能看清問題的本質.既然橢圓可由圓變換而來，而變換前后圖形間有如此緊密的聯系，研究橢圓的問題是否能退回到其最特殊的情形——圓中來思考呢?橢圓中的一些結論是否可以看作圓中的結論類比而得到的呢？

深入研究后，我們發現原問題是可以由一道平面幾何題演變而來的，問題及證明過程如下: 如圖2，BC是圓O一條弦，A是圓O上的點，且BC的中點在直線OA上，動點P在圓O上(異于點A,B,C)，且直線PB,PC分別交直線OA于M,N兩點，則OM·ON=OA2.

圖2

證明：連結PO交圓O于點D，連結DC.因為四邊形BPDC是圓O的內接四邊形，所以可知∠D=∠MBC.

因為PD為直徑，所以∠D+∠DPC=90°.

數學知識通常有著緊密的聯系.在平面幾何中學習了不少有關圓的知識，借助教材中伸縮變換知識揭示圓與橢圓密切的內在關系，通過橢圓的問題退回到圓中來思考，圓到橢圓的類比，會發現繁雜計算背后的知識源頭竟如此簡單，真可謂“踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫”.

2.2 探方法之源，揭其數學本質

圖3

即2b2-c2-cbcos ∠BAC=0(1)；

cos ∠BAC=0，

探究源頭這道試題考查什么樣的方法，源頭在哪里呢?教材中有沒有此類方法的例子？基于此，引領學生做了以下的探究學習過程.

圖4

圖5

數學的方法不是從天而降，是怎么想到的？在平時學習了不少解題方法，顯得多而雜.教學中一定要借助教材揭示技巧和方法背后本質和源頭，知其然更知其所以然.

2.3 探思想之源，悟其理性思維

圖6

探究源頭為什么會出現如此之錯誤呢？其根本原因是學生用“直觀”代替了“理性”，或者說學生缺乏理性的思考.

引導學生回歸學習教材(蘇教版)選修2—1第44頁中的“雙曲線漸近線的性質”解讀如下：

圖7

學生通過對教材的回歸學習，上述解讀中首先觀察當點N向右移動時，直觀發現隨著x的增大，PM長度越來越接近于0；但這是不夠的，還需要通過函數思想進行理性的證明.

同樣再來研究本例中問題時，學生不難找到錯誤的根源：過多的直觀，理性的缺失.數學中,數和形是兩個最主要的研究對象,它們之間有著十分密切的聯系,在一定條件下,數和形之間可以相互轉化,相互滲透.應當正確運用數形結合思想，真正理解 “數缺形時少直觀,形少數時難入微；數形結合百般好,隔離分家萬事休”( 華羅庚語).

2.4 探歷史之源，知其文化傳承

案例4在一輪復習等比數列時，讓學生回歸學習教材(蘇教版)必修5第55頁等比數列的求和公式推導.已知等比數列{an}的第1項a1和公比q，如何求它的前n項和Sn？

解根據題意知：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

①

在上述①式兩邊同乘以公比q，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+…a1qn，

②

由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn，

復習時，教師也都不自覺地復習錯位相減法.不少同學有這樣的念頭：錯位相減法技巧性很強，有沒有更為一般的方法嗎?

探究源頭在部分學生的認知里，數學是一門充斥著復雜計算和高難度技巧的學科.不可否認計算和技巧是解決數學問題不可或缺的兩部分.我們不妨去探尋歷史之源，借鑒數學史寶庫中蘊含的優秀數學思想方法，或許計算量是可以減少的，技巧是可以回避的，數學學習是可以“順其自然”的.

古人雖然不了解今天的數學，但今天的數學追求的目標古人也曾追求過.教師在設計教學時，須兼顧數學知識體系的完備性和學生的認知發展水平，尊重學生學習的主體性，當對學生某些念頭不知從何講起時，不妨回顧數學知識發生和發展的全過程，站在數學史的高度上重新審視教材，在解讀和重構數學史的過程中探索教學設計的優化途徑.

3 點滴思考

3.1 解題反思孕育學生的“念頭”

美籍匈牙利數學家波利亞在《怎樣解題》寫道：“如果你有一個念頭，你就夠幸運的了.無論如何，你應當感謝所有的新念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊念頭得以糾正的補充性念頭.即使你暫時還沒有發現什么有價值的新念頭，但如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應當表示感謝.”無須多言，學生的念頭多么的重要.高三復習中，學生做過無數的題目，如果沒有及時的反思，大量的題海訓練必然導致思維的僵化，數學思維不但沒有提高，反而會退步.反思應成為解題教學的重點，只有解題過程中讓學生反思問題涉及知識點、思想方法以及背景等，才能孕育他們的一些“念頭”的產生.對于學生的念頭，不能輕易滑過，要引領學生去探究，順乎自然地去幫助學生.

3.2 回歸教材探尋問題的“源頭”

教材是我們學習數學的根.面對浩瀚如海的數學問題，非常有必要回歸教材尋找問題本源.教材一方面呈現與數學問題相關的概念、定義、定理，另一方面呈現了相關概念、定義、定理的來龍去脈(知識的生成過程)，這些都是數學問題的本源所在.高三數學復習要重視回歸教材，不是簡單的為了回歸教材而回歸，不應流于形式.特別是在解題教學中，應當通過對解題的反思，借助學生的念頭，充分利用教材相關資源，探尋問題的“源頭”，將相關重要知識和思想方法串起來.如案例1中依據教材的例題，讓學生理解由伸縮變換可將圓的諸多性質拓展到橢圓中，體現知識和諧性，了解了當下命制解析幾何試題的重要手法；又如案例2通過挖掘教材中正、余弦定理的向量證法中隱含的向量等式實數化的方法，使學生了解到高考中所用的一些解題思想方法并非是無源之水，無本之木，而是來源于教材，從而使學生更易理解和掌握數學思想方法.

3.3 加強研究方能引領學生探究

波利亞說過：“教師的首要職責之一是不要給學生以下述錯覺：數學題目之間很少有聯系，和任何其他事物則完全沒有什么聯系.”數學問題不會無端地“迸發”出來，“問渠那得清如許，為有源頭活水來”.因此，作為數學教師應加強教學研究，要研究學生，了解學情，了解學生的內在需求和可能蔭生的“念頭”；要研究教材，研究教材中概念、定理來龍去脈、生成過程，研究例習題的典型性、示范性和關聯性，或是滲透的某些數學方法，或是體現的某種數學思想；要研究學習數學史，了解數學史料中可借鑒的思想和方法，適時融于教學.教師只有研究了，才能擁有教學機智，才不會滑過學生的一些對學習有意義的念頭，才不會對學生的需求置之不理，如案例3中教師沒有簡單地給出正確的解法，而是讓學生及時回歸教材體會雙曲線的漸近線的觀察與證明過程，體會了數與形的關系，培養了由直覺到理性的思維；只有教師研究了，才能高屋建瓴地引領學生去探究，如案例4中教師及時利用《萊茵德紙草書》的問題發現了等比數列求和的歷史之源，優化了方法，激發了學生的興趣.

4 結語

新一輪課程改革以培養數學核心素養為目標.要想從根本上提升學生數學素養，增強學生的數學能力，追尋數學本源應當是不可或缺的途徑.而教材是數學問題的源泉，回歸教材的過程無論是從知識層面還是思想方法層面對數學能力的提升，都起著事半功倍的作用.因而高三解題教學應精心選擇好的素材和試題，重視對解題過程的反思，捕捉學生的念頭，引領學生回歸學習教材，幫助學生分析問題的本質，激發高三課堂的活力，提高課堂教學的效率和品位.