高中數學主題教學之“概念類主題” ①——以高中數學中“比”的概念為例

汪 健 任念兵

(華東師范大學第二附屬中學 201203)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的“實施建議”中提出教師應當在教學實踐中整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展，從而引導學生從整體上把握課程，實現學生數學學科核心素養的形成和發展[1]．落實這些建議的關鍵是實施主題教學．中小學數學課程的知識類主題按照其關注的重點，可分為重要的數學概念與核心數學知識[2]．其中的核心概念[3]在數學教學中占有重要的地位．如同章建躍先生指出的，“中學數學核心概念往往具有鮮明的直觀背景，簡單、易懂且威力無窮，是開啟中學數學大門的金鑰匙[4]”．本文把以重要數學概念為主要內容的知識類主題稱為“概念類主題”，并以高中數學涉及的形形色色的“比”的概念為例，闡釋對“概念類主題”的理解和教學設計．

1 高中數學中的各種“比”

“比”作為一種數學運算，與除法運算和分數的概念有著密切的聯系．相對于更加強調等式關系的除法和更加側重運算結果的分數，同為兩數相除運算的“比”還具備對參與運算的兩個量進行比較的內涵．這一點從歐幾里得《幾何原本》中“比例論”一卷對“比”的定義即可見一斑[5]．故此相較于除法和分數，“比”更注重運算的過程性以及參與運算的兩個量之間“質”的比較．

在中小學數學的課程里，“比”也是一條主要線索，串起了分數、比例、相似比、變化率、頻率等諸多概念．本文關注的高中數學課程里“比”的概念包括：弧度制、三角函數、直線的斜率、函數的變化率/導數．此外，還有諸如線段所在直線上一點分該線段所成的比(見于定比分點公式)、平面面積的射影與原面積的比(見于面積射影定理)等．

在上述各個“比”的概念中，有一些表述成兩個幾何量之間的比，如弧度制的定義中弧長與半徑之比、三角函數的定義中各種坐標之間的比等；另一些則表述成兩個數量之間的比，如函數變化率與導數定義中的坐標差之比等．幾何度量之比與數量之比的統一過程是相當曲折的[6]．因此，掌握“度量之比”與“數量之比”之間的聯系，并通過問題解決來體驗“數形結合”的思想，對培養學生的直觀想象、數學運算、數學抽象等素養[2]是很有幫助的．

2 形與數——度量之比與數量之比

由于現代數學對度量與數量不加區分地用數來表示，在度量之比中往往蘊含著數量關系，反之亦然．這就為在各個“比”的概念中建立度量與數量之間的聯系提供了便利．

2.1 弧度制

2.2 三角函數

三角函數的定義與學生此前接觸的其他初等函數有一個顯著的區別：函數值是“比值”．教材一般會通過相似三角形的相似比檢驗該定義是自洽的[10]．不過，這就把原本由直觀的幾何方式定義的銳角三角函數的概念變得抽象了．對此，人教A版教材的處理方法是把比值轉化成有向線段的數量，引入“三角函數線”來幫助闡釋三角函數的概念[10]．

而在2019年出版的人教A版新教材中，將三角函數定義為(處于標準位置的)角的終邊與單位圓交點的坐標及其運算結果[11]．這樣放棄了斜邊的自由度，將“比”還原成數．隨后，反過來驗證銳角的三角函數與新定義兼容，從而獲得三角函數概念的完整形象．這種處理方式一方面體現了坐標作為從點集到實數集的函數的本質，呼應現代數學的觀點[12]，另一方面，其后的驗證過程也合乎“用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則”的要求[2]．

2.3 直線的斜率

現行的滬教版[13]與人教版教材[14]對直線斜率的定義均從傾斜角出發，把斜率定義成傾斜角的正切，本質上是作為三角函數的一種應用．在隨后的實際計算中，教材又把斜率解讀為直線上兩點的縱坐標之差與橫坐標之差的比．因此，直線的斜率雖然是一個幾何概念，但是仍然按照數量之比定義，體現了解析幾何解決問題的一般路徑：用代數方法求解幾何問題．

不過，在國外(特別是北美)的教材中，斜率卻往往先于傾斜角的概念出現[15]．在后續的內容中，這些教材也會更多地強調斜率作為改變量之比的特性，將其作為斜率的根本屬性．這種處理方法與上面的方式正好相反，源自幾何的觀點．我們將在下面關于函數變化率的分析中看到，為什么看似相同的改變量之比和坐標差之比被解讀為截然相反的意義．

事實上，這兩種觀念的碰撞在斜率的符號使用上也可窺一斑．長期以來，對于“斜率的符號為什么用k？”這個問題一直沒有定論．與此同時，在西方也有類似的討論：“斜率的符號為什么用m？”就目前能找到的資料來看，字母k的使用可能源于俄語Угловой коэффициент(直譯為“角系數”)中коэффициент(系數)一詞的首字母к，而字母m則出自法語monter(“攀登”)一詞的首字母m．是否可以認為：以k為斜率的數學教學體系更強調斜率作為數量之比的一面，而m為斜率的數學教學體系則突出斜率作為改變量之比的角色呢？這是一個有趣的問題[16]．

2.4 函數的變化率/導數

函數變化率的概念通過函數圖象的切線這個數學對象，與直線的斜率緊密地聯系在一起．因此，人教A版教材在引入函數變化率的概念時，沿用了其對直線斜率的處理方式，直接給出坐標差之比的算式結果，而不再強調它作為“比”的過程[17]．人教A版新教材則將變化率表述成變化量之比[18]．可以認為，用坐標差之比解釋函數變化率是將其歸為數量之比；而把函數變化率當成改變量之比、把導數當成改變量之比的極限則將它歸為了(帶符號的)度量之比．這兩種處理方式可參考微積分的教材中導數概念形成的兩種表述方式：

①設函數y=f(x)是在區間X內定義著的．從自變量的某一數值x=x0出發，給它加一增量Δx0，使不越出區間X，于是新值x0+Δx亦屬于這區間．那時函數值y=f(x0)將換成新值y+Δy=f(x0+Δx)，即獲得增量Δy=Δf(x0)=f(x0+Δx)-f．

圖1

2.5 小結

人類對“比”的認識，從局限于度量之比到包容了數量之比，是數學從算術/幾何發展到代數的漫長過程的一個縮影．上述“比”的概念大抵經歷了“度量之比→帶符號的度量之比→數量之比”的發展過程．這個過程在定比分點公式和面積射影定理中也有體現．

定比分點的定義中涉及到有關“比”的概念是點分線段所成的比，它與射影幾何中的齊次坐標有著密切的聯系[21]，因而經歷了“線段的長度→有向線段的數量→齊次坐標”的演變過程，兼具度量之比與數量之比的特點．

面積射影定理的常見形式是完全用幾何度量(面積)來表述的，證明則需要微積分的思想[22]，故并不常見于我國現行中學教材．定理的代數(帶正負號)形式本質與幾何形式相同，詳細的證明則可參閱多元微積分的相關部分[23]．可見，面積射影定理結論的拓展也與三角函數定義的推廣經歷了類似的過程．

綜上，在教學中把一系列與高中數學內容相關的“比”的概念串聯起來，從形與數兩個角度進行比較，可以為教學提供豐富的素材，也能將“數形結合”的思想通過數學問題具體化，是用于培養學生直觀想象素養的好材料．

3 “比”的主題教學設計

根據以上對“比”的數學內容和教學內容的分析，可以制訂以“比”為數學主題的教學目標和教學流程．

3.1 教學目標

第一，經歷用幾何方式與代數方式刻畫弧度制、三角函數、斜率、導數等各個“比”的概念的過程，掌握兩種刻畫方式之間的聯系與轉化，能夠將其應用于相關運算，并能解釋相應的運算結果，體驗數形結合思想，加深對“比”的概念的理解．提升直觀想象、數學運算等數學素養．

第二，通過梳理常量的“比”的概念與變量/函數中“比”的相關概念等內容，體會“比”的過程性；結合與“比”有關的圖形構造與動態問題，認識到“比”在變量數學中，特別是函數的研究中所占的重要地位．提升數學抽象、直觀想象等數學素養．

第三，了解人們對“比”的認識的發展過程，初步認識“比”的內涵與外延及其在數學中的地位，提升數學抽象、邏輯推理等數學素養．

3.2 教學流程

第一階段，在三角函數的學習中，結合弧度制和三角函數從幾何量到代數量的演變過程，認識坐標法與函數觀點下“比”的概念相對于初中內容的發展；

第二階段，結合解析幾何與立體幾何的相關內容，如定比分點、斜率、面積射影定理等，深化對“比”的數、形兩個側面的認識；

第三階段，結合函數變化率與導數的內容，進一步認識“比”的動態特征，及其在變量數學中的地位．

3.3 主題學習任務舉例

下面這個主題學習任務以“比”作為橋梁，用導數解釋了引入弧度制的必要性．

弧度制的再認識

(1)運用計算軟件(如EXCEL)描點作x-sinx°的散點圖(x∈{0.01,0.02,…,0.09})，觀察到各點大致位于一條過原點的直線l上，如圖2所示．

圖2

(3)試調整(1)中圖表里x軸的單位長度，使直線l的斜率變為1．結合(2)的結論，解釋引入弧度制對y=sinx圖象的影響；

(4)設f(x)=sinx，試通過(2)的結論計算f′(0)；

(5)借助兩角和的正弦公式與倍角公式，推導公式(sinx)′=cosx；

(6)試結合上述結論解釋在函數的研究中使用弧度制來度量角的優勢．

設計意圖：本任務旨在幫助學生理解引入弧度制的好處，可作為導數及其應用章節的拓展學習內容．問題(1)考查了學生運用簡單的數據可視化技術(圖表)，借助圖形探索解決問題思路的能力；問題(2)需要學生具備利用圖形性質探索數學規律的能力，同時也要求學生能夠把問題轉化為運算問題；問題(3)則要求學生能夠利用數形結合的思想，從數據分析的角度來探索函數的性質．總的來說，這三個問題在關注學生的直觀想象素養的同時，兼顧了數學運算與數據分析素養．

問題(4)則啟發學生通過此前的運算抽象出相關的函數極限，并在此基礎上得到導數的計算結果；問題(5)進而要求學生在此基礎上，藉由相關的運算方法提煉出解決一類問題的方法；最后，問題(6)引導學生用數學的語言來表述其對弧度制的數學特征的認識．后面三個問題旨在培養學生的數學抽象素養．

如同一些作者指出的，高中數學微積分專題為弧度制的合理解釋提供了可能[9]．而將學生在高中數學學習過程中遇到的與之類似的現象(如：自然對數的底數e的由來[24])進行聯系和對比，能夠通過“比”這一核心概念，提升學生對此類數學對象的認識．

以上探索表明，抓住核心概念，發掘其在高中數學內容范圍里的聯系，探究其在數學學科內的地位，并由此設計出的以概念為主題的教學，不僅可以為教師提供非常豐富的教學素材，也能為學生提供廣闊的思考空間，最終有助于提升學生的數學核心素養.