準確把握習題關鍵點 多維提升數學思考力

張育麗

（福建省廈門市第六中學）

在教學中我發現，有些學生只會跟著教師的節奏走，只懂得教師講過的類型題，不懂得如何靈活運用這些類型題里所涵蓋的知識解決新問題。為什么會出現這樣現象？其原因是多方面的，而不會對問題進行全面分析與思考是其中的重要原因之一。要解決這個問題，教師需要注意以下三點：一是使學生獲得系統的數學知識，二是掌握解決實際問題的技能，三是注意培養學生的思維能力。要教會學生思考問題的方法，使學生形成數學意識。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》提出的十大核心概念基本上是融合在數學思考內容里的，這充分體現了培養學生思考問題方法的重要性。讓學生更好地思考數學問題，這是數學教學中的一門藝術，其方法與形式是多種多樣的，學生思考問題的質量如何，反映了其數學素質的一個重要方面。在教學過程中，教師既要鼓勵學生勤于思考，還要引導他們善于思考，教給他們一些思考問題的方法。數學思考的培養應該融合于知識與技能、解決問題之中，侵潤于數學課堂教學的每一個環節中。

一、依托例題尋找最佳途徑，快捷解決問題

在講解例題時，應著重分析為什么這樣做，而不是只滿足讓學生知道怎么做。特別是講解幾何證明題時，教師要講清證明思路，讓學生知道為什么這樣做，這種方法是如何想出來的，為什么會這樣想，為什么不是從其他方面想，若從其他方面想，又可能會產生什么樣結果。思考問題的方法是數學的核心和靈魂，只有掌握了正確的數學方法，才能在看似錯綜復雜的數學問題前從容不迫，得心應手，并且進行深入地探索與研究。正如著名數學家笛卡爾說的那樣：“沒有正確的方法，即使有眼睛的博學者也會像沒有眼睛一樣盲目摸索?！庇纱丝梢?，把思考問題的方法教給學生，進而選擇恰當的數學方法進行解題是至關重要的。

如圖1，AE是ΔABC的外接圓O的直徑，AD⊥BC于D。求證:ΔADC～ΔABE。

圖1

在講解此題時，可引導學生從求證的問題出發，結合相似三角形的判定定理，至少有三種方式去解決ΔADC～ΔABE：兩角對應相等；兩邊對應成比例且夾角相等；三邊對應成比例等。可以從上述三種方法選擇合適的一種求證即可。

接著，可以引導學生觀察所給的幾何圖形和已知條件，要證明上面三種情況之一成立，證明哪一種情況成立較為簡便。這個題目分析到這里，大部分學生很快就能判斷出證明第一種情況成立較為方便簡單。因為題目所給圖形和已知條件中，不難發現：∠E=∠C，∠ADC=∠ABE=90°。在充分分析下，學生選擇最佳方案，教師再進行總結提升，寫出規范的證明過程，完善整個思維過程。

本題的思考方法是演繹推理分析法，教師在教學時若能充分注意分析與綜合，就可以啟發學生去積極思考，培養他們分析問題和解決問題的能力。如果學生在學習中能運用分析法和綜合法，很容易就能找到解題的途徑，避免盲目摸索。因此，教師必須把分析法和綜合法作為演繹推理中的有機部分，隨時滲透到教學中。分析法和綜合法雖然是兩種相反的思維方法，但是在解題時經常把兩者有機融合，避免造成思路單一的情況，這種方法就是綜合分析法。本例題就體現了轉化（化歸）的分析綜合法：由弧相等轉化成圓周角相等。在整個初中數學教學中，轉化（化歸）方法一直貫穿其中。它是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易于解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的方法，也是數學基本思想方法之一。

二、變單一思維為多向發展，提高分析能力

學生的認知水平是逐漸上升的，在數學復習課的教學中，除了讓學生對所學的知識要進行查漏補缺外，還需要“讓學生再一次發展”。在教學中，要讓學生把所學的知識結構化，在學科系統內有機融合、整體構建、創新方式、有效推進，這需要教師智慧地整合教學資源，把已學知識串成“線”，織成“網”。如果說新授課是數學教學的“畫龍”之作，那么復習課則是“點睛”之處。以復習課“實數運算”為例，可以將整個教學設計得圖文并茂、形象直觀，創設各種問題情境，激發學習興趣，進而更好地發展和提升數學思考力。

如圖2，一張長方形紙片，長為2，寬為1。

問題1：長方形紙片的周長是多少？

問題2：長方形紙片的面積是多少？

問題3：將長方形紙片按圖2，折出一個邊長為1 的正方形，則正方形的面積是多少？

圖2

問題4：如果將上述邊長為1 的兩個同樣的正方形拼成一個的新正方形。此新正方形的邊長是多少？

通過問題組的設計，可以將運算的視角引入到乘方運算，讓學生感受乘方與開平方是互為逆運算。這樣，既降低了對開方運算的認識難度，又讓學生感受了數學中的某些規則具有一致性、相容性、和諧性。同樣的，還可以得到開立方運算，立方根的概念。在問題4 中，如果學生不會求新正方形的邊長，可啟發他們從兩個方向入手，一是通過追問：拼成的新正方形的面積可求嗎？進而讓學生通過新正方形的面積求出邊長。二是直接利用勾股定理，得：邊長=讓無理數登場，以便學生更深層次地理解無理數、研究無理數。

通過以上的回憶與思考，還可以引導學生進一步探究。

如圖3，如果我們沿所得邊長為1 的正方形的對角線剪出一個等腰直角三角形，記為ΔABC。沿CE折疊ΔABC紙片，使A點落在BC邊上的D點處。

圖3

問題5：求BD的長度。

問題6：如圖4，繼續折疊，使點B與點D重合，折痕為FQ，請你求出此時線段DQ的長度，并比較此時的DQ的值與的大小關系。

圖4

問題7：對于an=b，若給出a、n，求b，是乘方運算；若給出b、n，求a，則是開方運算；若給出a、b，求n，這又是一種什么新的運算呢？

在這個設計中，由“形”出發，從互為逆運算的角度，重溫數系的發展進程，讓學生感受了數學六種運算的發展過程。重走發現之路，基于算理，回歸估算，讓學生感受到要研究這種運算的必要性和可能性，體驗思維推理活動。問題7 則讓不同的學生在數學上都能得到良好的發展，延續了本節課研究運算的一般方法與規律，讓他們有研究運算的意識呈現，有怎樣定義運算的方法傾向，有研究問題的經驗積累，而這也是初高中知識銜接的重要方式之一，是教學的價值所在。

三、借助題目變式教學，拓寬邏輯思維空間

學生具有合理的邏輯習慣和較強的思維能力，不但有助于透徹地理解和系統地掌握數學知識，而且有助于提高運用數學知識解決實際問題的能力。數學教學不應該以知識的密度來代替對學生思維能力、思想方法的考查，而是應將合理推理和演繹推理巧妙地融合其中，從根本上提高學生的數學素養。對于內涵豐富的題型，若能深入挖掘，加以變化，往往能舉一反三，達到以例代類的效果。即能通過做一道題達到會一類，甚至知一片的目的。

如圖5，點E是△ABC的邊AC延長線上的一點，點D為邊AB上一點，BD=CE，連結DE，交BC于F，DF=EF，求證：AC=AB。

圖5

解法一：在線段BF上截取GF=FC，連結DG；

解法二：過點D，作DG∥CE交BC于點G；

解法三：延長FC至P，使得FG=BF，連結EG；

解法四：過點E作EG∥BD交BC的延長線于點P。

同一個題目，從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟發，要引導學生延伸思維的觸角，激發學習興趣，從而提高思維的廣闊性、靈活性和深刻性，使其更具有思考力。還可以把題目再進行變式訓練。

【變式訓練1】如圖5，ΔABC中，AB=AC，延長AC到E，使得CE=BD，DE交BC于F。求證：DF=EF。

啟發學生多種方法去思考：利用全等三角形，利用中位線，利用平行四邊形性質，進而類比相似三角形的知識。

【變式訓練2】如圖6，BD=CE，求證：AC·EF=AB·DF。

圖6

有了以上兩題的圖形模型，結合相似三角形的有關知識，欲證等積式，只須證比例式即可。從圖6中可知，AC與AB不在同一直線上，而DE與EF在同一直線上，聯想到有關證明比例式的內容不外乎平行或相似得到比例式，DE與EF在同一直線上啟發我們可過E點作AB的平行線。這樣，就符合要求了。

“變一變，天塹變通途，換一換，陌生成熟悉?！苯虒W中通過對例題、習題做多角度、多方面的發展，尋求問題的增長點，有意識地引導學生通過一題多解、一題多變等訓練，不斷摸索結解題的捷徑，能夠使學生思維的廣闊性得到發展，思維能力得到提升。

四、抓住習題本質強化探究，走出數學思維盲區

學生錯題的原因是多樣的，包括：隱含條件分不清，漏條件，分類不當或不分類造成邏輯上的混亂，由于思路不清晰造成計算、推理上的漏洞，主觀臆斷、消極定勢而“誤入歧途”等。這些都體現了學生思維的單一化、表面化、無序化盲區。要走出這些思維的盲區，應對他們的學習活動進行觀察，選擇“典型”例題進行剖析，精心引導，強化訓練，并要運用變通性的動態思考。

如有這樣一個題目：

在本題的解答中，很多學生往往是沒有對兩個方程組的構造進行比較研究，而是按部就班地將x、y的值代入第一個方程組，求出m、n，再把它們代入第二個方程組。這個方法也是正確的，但是整個計算過程比較繁冗，還容易產生計算錯誤。作為填空題題型，這樣的題目對于學生來說失分率頗高。我們知道，對于同一類方程（組），方程的解取決于它所含的系數，而與它采用的字母無關。此題中兩個方程組雖然表面不一，但只要把第二個方程組的（2x+y）、（2x-y）分別看成兩個整體換元，那么它與第一個方程組的系數就相同，因而它的解也應該相同，即有這樣就抓住了習題的本質，運用了解方程的思想進行了處理。在平時教學中，應使知識的發生過程與結論渾然一體，以強化探究的教學方式去克服學生數學思維的盲區，使學生的思考力得到更進一步的發展。

美國數學家波利亞認為，中學數學教育的根本目的是“教會學生思考”。我們應當明確，數學教育的目的不是培養知識的記憶者，而是培養積極的思考者。教師的角色起著關鍵性的作用，特別是要準確把握習題的關鍵點，精心設計習題，組織學生操作實驗、觀察現象、提出猜想、推理論證等，引導其靈活、多角度地思考，有效提升思考力。