回歸基礎數學模型，類比遷移突破難點

王寶良

[摘 要]對于一些無法用現有的定理公式解決的難題，可以先得出類似問題的基礎數學模型，進而類比遷移，從而利用基礎數學模型有效突破難點。

[關鍵詞]基礎模型;類比遷移;函數

《中小學數學》雜志小學版2014年第7、8期（合刊）刊載了范午英老師的一篇教研論文，題目是《教數學要以理服人》，范老師通過嚴密的論證說明了數學教學的推進要“理直氣壯”，范老師嚴謹務實、精益求精的治學態度令人折服。筆者反復品讀該文，受益匪淺，對范老師的觀點也十分認同，但是對一道題的講解，筆者認為教師給出的解題方法一定要“有理有據”：這“理”一定要在事理上、邏輯上、數學理論上站得住腳。

原題回放：[題1]用一塊長10厘米、寬6厘米的鐵皮可以焊成一個無蓋的長方體，這個長方體的最大體積是多少？筆者認為原文中闡述的解題原理超出小學生的認知范圍，因此對文中舉出的例題仔細分析，并提出修改意見：在“長方體”后面加上“盒子”二字，對“體積”的描述換成“容積”，且要補充說明“在切割和焊接時厚度和損耗忽略不計”，這樣描述更加科學嚴謹。另外，范老師在文末蓋棺定論：“43.75立方厘米是能切割出的最大的體積。”這個結論也是有問題的。

一、找到基礎模型

筆者先研究一個類似的問題：[題2]用20米長的鐵絲網在墻根處（圍墻足夠長）圍一塊長方形（長方形的一邊用圍墻代替）的花圃，怎樣才能使圍成的長方形的面積最大？最大的面積是多少？

對于這道題，采用逐一列舉法就可以推知答案。眾所周知，長方形的周長一定，圍成的長方形在長、寬相等時面積最大。但這道題又有所不同，題目所要圍成的并不是一個完整的長方形，其中有一條邊是墻體，鐵絲網的全長只是被分成三條邊，由此，一個大膽的想法在筆者的腦海中浮現：假設圍墻的“另一面”也有一個“長方形”，它與“花圃長方形”沿著圍墻對稱，那么從空間視角來看，這兩個對稱的長方形不就拼接成了一個大長方形嗎？此時這個大長方形的周長就恰好是鐵絲網的全長，應為20×2=40（米），根據已有的解題經驗，要使這個“假想”出的大長方形面積最大，必須令其長、寬相等，而其長、寬一旦相等，這個長方形就會變成正方形，這個正方形的邊長為40÷4=10（米）。由于這個“假想”的正方形是一個對稱圖形，所以隱去添加的對稱部分后，就得到圍成的長方形的長為10米，寬為10÷2=5（米），這時圍成的長方形的面積最大，最大的面積為10×5=50（平方米）。

二、上升到函數高度

函數的作用就是將列舉法進行了無限化處理，滲透了極限思想，因為列舉法不可能列出所有數據，難免有所遺漏，而函數思想則彌補了這一缺陷，將列舉法中自變量的動態變化過程連續化、綿密化，其論證結果更具說服力。有人認為“學生接受不了函數思想，只能接受列舉法”，但是教師兩者都必須掌握，只有占據理論的制高點，教師才能做到高屋建瓴、指揮若定。

函數思想可以很好地“指導”列舉法，比如列舉時可以有序列舉（對應函數圖像的連續性），可從兩個端點開始嘗試列舉，不斷向中間“縮進合攏”。例如，從寬度是0開始，不斷遞增，同時從寬度是10開始，不斷遞減，這也對應著函數思想（圖像）里的函數圖像與橫坐標的兩個交點（[x1]，0）（[x2]，0），此時函數值為0。更為神奇的是，函數圖像里的兩交點（[x1]，0）（[x2]，0）的中點坐標就是最值的橫坐標（對稱軸所在處），可以類比遷移到列舉法里，能得到最大值的寬度就是兩個端點值的中間值，也就是（0+10）÷2=5。這種思想方法克服了列舉法的斷續性和有限性，可以彌補無法窮舉帶來的漏洞。

三、基礎模型的類比和函數理論的推廣

由題2的兩種解法聯想到，長方體的體積一定時，只有長、寬、高相等，也就是長方體變成正方體時，表面積最小。反過來，當長方體的表面積一定，且長、寬、高相等時，也就是變成正方體時，體積最大。這其實是對“面積周長最值定律”的推廣，只不過由原先的長、寬兩個數據擴充為長、寬、高三個數據，由原先的二維平面圖形延伸為三維立體圖形，但原理是一樣的。至此，能否大膽假設：題1中還有一塊同樣的鐵皮，如此一來，切割焊接后，根據前文推廣的最值定律，焊接而成的有蓋長方體盒子的容積達到最大時，長方體的長、寬、高必然相等，即變為正方體盒子。此時，設焊接成的正方體盒子的棱長為a厘米，則有6[a2]=10×6×2;[a2]=20，a=[25]，則按題1的要求，再將這個正方體有蓋盒子沿著某個面的中線切割一半下來，使其變成兩個相同的無蓋長方體盒子（如圖2），這個無蓋的長方體盒子的容積應為[a3]÷2=20×[25]=2044.72（立方厘米）。

上述由類比推廣出的方法，有沒有函數理論上的依據呢？設圍成的無蓋長方體盒子內部的長、寬、高分別為a、b、c（假定開蓋的那個面為a×b），則有ab+2ac+2bc=10×6，這個長方體盒子的容積應為abc。當abc最大時，4[a2][b2][c2]也一定最大，即ab×2ac×2bc最大，又因為ab+2ac+2bc=60，這三個數（把這三個積當成三個數）的和一定，要使它們的積最大，那么這三個數一定相等，這也是對“兩個數的和一定，要使積最大，必須使兩個數相等”的推廣，即ab=2ac=2bc，則有a=b=2c，所以4[c2]+4[c2]+4[c2]=60，[c2]=5，a=[25]，b=[25]，c=[5]，那么題目中要求的長方體盒子的容積abc=[25]×[25]×[5]=20[5]=44.72（立方厘米）。

通過對此題的研究，筆者認為范老師給出的方法是好的，設計是巧妙的，但是數據設計欠妥，因為最后出現無法避免和抵消的平方根，導致一道精巧的題出現瑕疵，并引起不必要的爭端。如果將題1的數據稍作改動，比如將鐵皮的長改為8厘米，寬為6厘米，這樣一來，c=[4]=2，恰好為整數，效果會更好。

（責編 黃春香）