抽絲剝繭剖析“倍數問題”

魯桂青

[摘 要]數量關系具有相對性，已知的是標準量，未知的是相對量，二者的相對關系具有互換性，這在比大小、比多少問題中已經顯現。到了倍數問題中，同樣存在著辨析相對性的問題，到底誰比誰、該加還是該減、該乘還是該除，需要總結出一個簡單、可操作性強的公式進行研判。

[關鍵詞]數量關系;倍數;公式;加減

每逢遇到較為煩瑣的倍數、分數（含百分數）應用題，師生都會感到頭痛。教師無奈于講了無數次，學生就是不會，而學生則覺得教師沒有講到點子上。如何才能打破這樣的困境呢？能否把這些形形色色、紛繁復雜的倍數、分數應用題歸為一類，歸納出一套行之有效的破解之道？筆者認為，不管是倍數問題還是分數問題，都屬于倍率、分率的范疇，只不過在描述問題時對數量關系的相對性作了置換。因此，根據內在的共性概括出一個“萬能公式”，使形式符合這一條件的題目或者通過一定加工和語言變換可以轉變為同一形式的題目，都套用這一“萬能公式”來解決，是完全行得通的。

一、簡單的倍數問題的解題公式

低年級學生在初學倍數問題時，一旦遇到類似下面的問題，往往就會束手無策，這類問題在情節描述上具有迷惑性，在語言邏輯上具有干擾性的相似情節，學生對到底該選用除法還是乘法解題常常感到迷茫。

1.佩奇有4雙旱冰鞋，喬治的旱冰鞋數量是佩奇的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

2.佩奇有4雙旱冰鞋，是喬治的旱冰鞋數量的2倍，喬治有多少雙旱冰鞋？

很明顯，第1題是用“4×2=8”來解答，因為喬治的旱冰鞋數量是佩奇的2倍，也就是所求的未知數是已知數4的2倍，即有2個4，所以用乘法。而第2題有所不同，雖然也是已知佩奇的旱冰鞋數量，倍數也是2，但是相對性發生了轉換，已知數4是未知數的2倍，改寫成第1題的語序，就是未知數是已知數的[12]，所以用除法計算。

對比辨析這兩道題，可以總結出一個簡單易行的規律：知小求大，用乘法計算;知大求小，用除法計算。再進一步探究、解剖，從語法句式上辨析，還可以總結出：倍數問題，若求的是動詞“是”前面的量，用乘法計算;若求的是動詞“是”后面的量，用除法計算。倍數問題無非是誰是誰的倍數，翻來覆去，萬變不離其宗，所以用上述規律解答可以快刀斬亂麻，省去復雜的對比邏輯分析。那么，復雜的倍數問題又該怎么應付呢？

二、復雜倍數問題的解題公式

先看兩道不同類型的題目：

1.佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數比佩奇的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“20×2+6”或“20×2-6”解答）

2.佩奇有20件裙子，比豬媽媽的裙子件數的2倍還多（少）6件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（20-6）÷2”或“（20+6）÷2”解答）

由于第1題的解法屬于順著情節發展來列式，大多數學生很容易就能理解和掌握，但是第2題的數據的變化是反著故事邏輯來走的，需要運用逆向思維推理，而一些學生欠缺反推能力，解題時往往就會思維受阻。部分學生經常混淆這兩類題目，尤其是對第2題這樣的題目，對于為何多了要減，少了反而要加，覺得不可思議、無法想象。

此時，教師可以扒掉情境外衣，提取直白的數量關系，進行直觀對比。將“（90）比40的2倍多10”與“90比（多少）的2倍多10”進行對比。通過反復對比可知：90只有先刨去10后，剩下的才正好是所求數的2倍。也可通過直觀的線段圖（如右圖）進行對比分析，這樣更能促進學生的理解和掌握。

引導學生經歷上述方法的運用，再經過分析、提煉與歸納，總結出較復雜的倍數問題的解題法則：知小求大，先乘倍數后加減，多幾加幾，少幾減幾;知大求小，先加減再除以倍數，多幾減幾，少幾加幾。通過進一步研究語法句式，還可以將這個法則推廣，使其更具普遍性：求“比”“占”“是”之前的未知量（未知量大于已知量），先乘倍數后加減，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量（未知量小于已知量），多減少加后再除以倍數，多幾減幾，少幾加幾。

三、倍數問題的推廣形式

在解決涉及小數、分數、百分數的應用題時，上述倍數問題的解題方法則是否可以沿用？下面從兩個例子著手研究。

1.佩奇有10件裙子，豬媽媽的裙子件數比佩奇的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“10×20%+4”解答）

2.佩奇有10件裙子，比豬媽媽的裙子件數的20%還多4件，豬媽媽有多少件裙子？（用“（10-4）÷20%”解答）

通過類比、分析，發現可以把從表面上看毫不相干的小數、分數、百分數問題與倍數問題歸為一類。為方便表述，姑且統稱為“倍率問題”，并歸納概括出破解此類問題的“萬能公式”：求“比”“占”“是”之前的未知量，先求乘積，多幾加幾，少幾減幾;求“比”“占”“是”之后的未知量，多退少補，多幾減幾，少幾加幾，然后再除以“倍率”。

上述規律只是從語法與詞序方面來機械比對出解題法則，那么它的數學依據到底是什么？

1.佩奇有a件裙子，豬媽媽的裙子件數比佩奇的裙子件數的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關系的分數、小數）

分析：豬媽媽的裙子件數為ab[±]c。

2.佩奇有a件裙子，比豬媽媽的裙子件數的b（倍）還多（少）c件，豬媽媽有多少件裙子？（b還可以是表示倍比關系的分數、小數）

分析：用方程法順推出算式，然后用解方程逆推出結果，豬媽媽的裙子件數為（a±c）÷b。

【說明】

1.套用上述公式時，必須把已知量（數）置于數量關系詞句之前，否則，結論不成立。如“一個數的3倍是45，求這個數”必須改成“45是一個數的3倍，求這個數”。（調整句式后題目大意不變）

2.當多（少）之后連接的不是一個確切數字時，必須先轉換成倍率語言，再套公式。

如：①佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數比佩奇的2倍還多10%，豬媽媽有多少件裙子？其實質就是：佩奇有20件裙子，豬媽媽的裙子件數是佩奇的2.1倍，豬媽媽有多少件裙子？

②佩奇有40件裙子，比豬媽媽的裙子件數少20%，豬媽媽有多少件裙子？其實質就是：佩奇有40件裙子，是豬媽媽的裙子件數的80%，豬媽媽有多少件裙子？

說到底，簡單的倍率問題其實就是復雜倍數問題的特殊情況，就是多幾少幾的數量為0的情況，也就是沒有缺額和超額的整倍數情況，仍可用上述公式解答。上述結論只是筆者個人淺見，如有不當請不吝賜教。

（責編 吳美玲）