追根溯源，弄清單位面積圖形選取背后的原因

慕若楠

[摘 要]數學是一門邏輯嚴謹的學科，一些看似平常的概念、定義其實大有深意。尤其是小學數學，涉及許多從生活中抽象而來或者是受生活啟示而衍生出來的概念，它們都是有著真實的生活原型的。因此，在平時的教學中，對一些難以理解的概念追根溯源，有助于學生理解概念本質。

[關鍵詞]面積單位;密鋪;多邊形;內角

教學中，教師普遍將邊長為1個單位長度的正方形的面積作為一個標準面積單位，即單位面積。對此，筆者不禁思考：世上的平面圖形千千萬萬，為何獨獨選擇邊長為1個單位長度的正方形作為標準？如果選擇其他規則、美觀、便于計算面積的平面圖形作為標準，是否也可以？這種猜想并非離經叛道。筆者認為，帶領學生驗證這一猜想，可以令學生在理解數學概念的同時，通過溯源式反思來論證單位面積的定義的科學性和合理性，感受數學概念的精確性與嚴密性。

首先可以明確，無論選擇哪種規則的平面圖形作為單位面積圖形，都必須滿足一定的前提和要求。第一，選擇的單位面積圖形必須能夠最大限度地密鋪一個平面圖形，盡可能做到嚴絲合縫，用形狀、大小一致的圖形拼連后，彼此之間不留空隙、不交疊覆蓋，剛好將被測平面圖形鋪滿，即能做到密鋪。第二，方便測算。這種圖形既要常見，又要便于切分和計算面積，不必刻意追求新奇怪異。根據上述兩個要求，下文將從不同角度論證把邊長為1個單位長度的正方形作為單位面積圖形的合理性與科學性。

一、可以做到單層密鋪的正多邊形

要想實現密鋪，首要條件是滿足若干個內角恰能圍成360°。又因為正多邊形的內角公式為[（n-2）× 180°n]（n為正多邊形的邊數，n大于或等于3且為整數），用正n邊形進行單層密鋪時，假定有一個聚集點，在這個聚集點處，若干個內角拼接成一個周角，如此循環往復，交互相接，每個正多邊形的各邊都與其他正多邊形的某邊重合，才可以實現密鋪。也就是當[360°（n-2）× 180°n]=[2nn-2]=2+[4n-2]為整數時，才滿足要求。要想使其結果為整數，只有當n-2是4的因數時才能實現。分析可知，只有當n=3、4、6時，才能讓原式的結果為整數。也就是說，只有當正多邊形的邊數為3、4或6時，才能實現對任意平面的密鋪。顯然，常見的等邊三角形、正方形和正六邊形才能實現密鋪（如圖1、圖2、圖3）。

二、可以實現密鋪的其余特例

其實除了上述很容易想到的例子外，還有些不容易想到的特例，那就是利用演繹推理，將正方形推廣為一般的凸四邊形。正方形的內角和是360°，一般四邊形的內角和也是360°，正是由于任意一個凸四邊形的內角和也是360°，因此只要是凸四邊形，總可以設法將4個內角拼成一個周角。通俗地講，就是將4個全等的凸四邊形的4個不同內角拼接到一起，湊成周角，在外部實現內角的拼合。具體操作時，只要劃定一個聚點，然后讓4個全等凸四邊形的4個不同頂點與聚點重合。除此之外，還要保證相等的對應邊兩兩重合，這就要求在拼擺四邊形時要學會翻轉。拼接同一個內角可以有正反兩面兩種擺法，為了對應邊能夠重合，有時需要翻轉拼接，這樣才能做到不交疊、不留縫地密鋪（如圖4）。

觀察圖4可以發現，任意凸四邊形也能做到密鋪，只不過密鋪后的四邊形不再只有一個擺放方向，存在顛倒的情形。在這里特別指出四邊形里能實現密鋪的另外幾種特例，任意平行四邊形和長方形也能實現密鋪（如圖5、圖6）。由于任意兩個全等三角形可以拼成一個平行四邊形，因此任意三角形也可以實現密鋪（如圖7）。

那么是不是除了這些圖形可以密鋪，其他圖形都不能呢？其實不是，實際上還存在大量可以密鋪的不規則圖形，雖然它們的內角與內角和無法精確測量和計算，但是各條邊線可以完美重合。例如，圖8是曲邊圖形的密鋪，圖9是不規則多邊形的密鋪。

通過以上分析不難發現，能夠做到密鋪的幾何圖形有很多。筆者將其大致分為三類：一類是根據正多邊形內角公式推理出的等邊三角形、正方形和正六邊形;另一類是根據正方形演繹推理出來的任意凸四邊形、任意三角形;還有一類是根據觀察和實踐可以確證的各種奇形怪狀的平面圖形。

三、哪些平面圖形的大小適合作為面積單位

眾所周知，數學是研究空間線性結構和數量關系的學科，同時也是揭示自然規律和解釋事物之間數學聯系的思維工具。因此，為單位面積挑選平面圖形時，方便計算和測量是首先應該考慮的。而考慮到使用的普及性和簡易性，還應該選擇生活中常見的圖形。

那么生活中哪種圖形最易被人們接受呢？毫無疑問，最能引起人類的視覺分辨度的無外乎方方正正的形狀。例如用邊長為1個單位長度的正方形作為單位面積圖形來測算地板、墻壁、黑板、乒乓球桌、方桌等的面積，不但能實現密鋪，而且可以很直觀地看出鋪了幾行幾列，然后利用“列數×行數”很容易就能算出待測平面包含多少個單位面積圖形。而用其他圖形，例如正三角形或正六邊形，抑或其他不規則圖形作為單位面積圖形，都不能得到整齊劃一的水平和豎直都對齊的矩陣，計算其數量變得復雜煩瑣。更令人頭疼的是，無論怎么拼接這些正三角形、正六邊形或其他不規則圖形，因為是交錯排列的，很難將一般方形鋪滿，尤其是邊緣處，極易留縫（如圖10）。這樣一來，自然也難計量出待測面包含多少個單位面積。

因此，綜合考慮密鋪的各種條件，除了矩形外，其他圖形都或多或少有一些缺陷，故不作考慮。

四、為何最后選擇正方形

如果選擇普通長方形作為面積單位，也能做到密鋪，同樣也可以利用“行數×列數”求出單位面積的總數，但是為何又拋棄了長方形呢？例如選擇長寬比是2∶1的長方形為單位面積圖形去測量一個長10、寬8的長方形的面積，也可以密鋪出8行、5列，那么就可以算出待測面的面積為40個這樣的單位面積。而如此一來，作為單位面積圖形的長方形，長2、寬1，如圖11，待測面的長被測定為10個“長度單位”，而寬卻被測定為4個“寬度單位”，即測量一個圖形中的長度時出現了“雙重標準”，就會使得長度的度量和面積的計算出現混亂，喪失了數學的簡練性和精悍性。

綜上所述，筆者認為，邊長為1個單位長度的正方形是單位面積圖形的不二之選，其原因在于正方形不但可以實現密鋪，而且在測算時簡便明了、便捷易行。文章討論的命題是人們覺得司空見慣的，也是熟視無睹的，可以看出，對一個看似很不起眼的面積單位的規定進行論證，卻彰顯了數學精神的精確性與嚴密性。

（責編 吳美玲）