經歷過程，感悟思想

徐夢嬌

[摘? 要] 文章記述了“平均數”一課的教學過程。通過教學實踐，研究者提出建模教學中需為學生提供問題探究的過程，使其感悟抽象思想;需讓學生從操作中發現規律和問題，使其感知模型思想;需讓學生經歷深度思考的過程，使其領會模型思想。

[關鍵詞] 平均數;模型思想;經歷;小學數學

模型反映了大千世界中事物蘊含的共性，模型思想是學生感悟數學與生活的重要途徑，也是數學核心素養的重要內容，由此可見其在數學學習中的重要地位。因此，教師要有意識地將其滲透到數學活動之中，讓學生真實地感受到抽象建模的過程，從而建立模型思想，提升核心素養。在課堂上如何讓學生經歷有過程的學習，深刻感受建模的抽象和轉化呢？筆者以“平均數”為課題進行嘗試，讓學生在經歷解決問題的過程中，初步建立平均數模型思想。

一、教學實錄

教學片段1：趣味情境——指向已有經驗，讓學生積極參與學習過程

師：套圈的游戲你們是否參與過？大家快看，那邊有一群同學正在舉行套圈的比賽呢！（PPT出示情境圖）

師：他們的比賽男女生分開進行，每個人可以套圈15個，統計所得的信息如圖1所示，從中你能得出哪些信息呢？

生：共有3名男生參加比賽，套圈成績分別為5個，9個，4個;共有4名女生參加比賽，套圈成績分別為10個，2個，5個，3個。

師：那大家再來思考一下，男生與女生相比，哪個套得更準一些？（學生展開了火熱的討論，有的認為是男生，有的認為是女生，一場辯論賽拉開序幕）

師：看來我們的小朋友還沒有統一的意見。那我們先邀請認為“女生套得更準一些”的同學說一說他們的理解。

生1：套圈游戲中，套中最多的是女生，其中有一個套中了10個。

師：以一名女生的成績來斷定所有女生的水平，你們覺得這樣的判定方式合理嗎？

生2：很明顯是不合理的。你們看，還有一名女生只套中了2個，是個數最少的一個。

生3：女生套中的總數多一些，我認為她們更準一些。

生4：不一定，她們人數也多一些啊！

師：生4的觀察很仔細，他發現男生與女生的人數不相等。看來，我們遇到麻煩了！單個人之間進行比較又不合理，總數相比又不合適，那如何比較才能真正做到公平合理呢？

生5：如果讓所有男生的套圈個數相同，讓所有女生也相同，那就可以比較了。

師：很有創意的想法，老師大概明白你的意思了，就是將每名男生套中的個數均勻地分一分，使得每名男生套中個數相同;將每名女生套中的個數也均勻地分一分，使得每名女生套中個數相同。這樣一來，我們只需任意選擇一名男生和一名女生比較即可。是這樣嗎？

生5：對的。

師：其他同學明白了嗎？你們認為這樣公平嗎？

生（齊）：公平！

教學片段2：實踐操作——指向數學直觀判斷，讓學生獲得模型感知

師：那如何才能讓他們每人套中的個數一樣呢？大家看，這里有一張學具板，請以男生為例，并利用好這張學具板分組討論。（學生展開討論）

生6：我們組將多的移給少的，男生中套中最多的是9個，分給其他兩人各1個，那3人個數分別為6、7、5，再從7里拿出1個給5，則3人套中個數就都為6個了。（學具板演示）

師：這種方法在數學上稱為“移多補少法”，這種方法大家覺得好嗎？還有其他方法嗎？

生7：3個人中套得最少的男生是4個，可以以4為底數，將多下來的都加在一起1+5=6，再將這6個平均到3個人，由此每人套中6個。（同樣通過學具板演示）

師：設置底數，并將多出的合在一起，最后平均分，不錯！還有其他方法嗎？

生8：把所有的都合在一起，然后一個一個平均分，每人可分到6個。（操作學具演示）

師：不錯的方法，就是比較耗時，還有更簡單的方法嗎？

生9：直接列算式為5+9+4=18（個），18÷3=6（個）。

師：那這里的每個數各表示什么呢？算式又有何意義？6表示什么？

生10：將3個男生套中個數合起來，再平均分到每個男生，每人可以分到6個。6就是平均每個男生套中的個數。

師：你們真厲害！

教學片段3：深度思考——經歷活動過程，讓學生感悟模型思想

師：那每個男生實際都套中了6個嗎？

生11：肯定不是啊，每個男生實際套中的個數都是不一樣的，6僅僅是假設而得的一個數。

師：不錯，6在這里只是反映男生的平均水平。那么，對比男生每人實際套中的個數與平均數，你有何發現？

生12：這個平均數比套中最多個數9要小，而比最小的數4大一些。

生13：這個平均數在4和9之間。

師：總結得很有道理，平均數在最大數和最小數之間。

師：那我們一起來猜測一下，女生套圈的平均數是多少？

生14：肯定比10小，比2大。

生15：我猜可能是5。

師：那我們一起來驗證一下吧！

生16：10+2+5+3=20（個），20÷4=5（個）。

師：那還有人用移多補少法或其他方法嗎？

生17：女生的人數太多了，而且個數相差較大，其他方法運用起來比較浪費時間，不如計算簡便。（其他同學點頭贊同）

師：真是會動腦筋的好孩子！看來不管在什么情況下，都可以用“總數÷份數”來求得平均數這種方法……

二、建立模型思想的有效途徑

1.為學生提供問題探究的過程，感悟模型思想

數學教材是學生學習活動的重要資源。教師在運用教材時，不能生搬硬造，而需深入理解教材，并創造性地使用教材，在課堂上設置有效的教學情境，通過有價值、有思維含量的問題設置引領學生去操作、去思考、去發現、去驗證，從而有效地鍛煉和發展學生的思維，同時讓模型思想初見端倪。游戲是激起學生興趣的載體，問題情境是學生思維的動力。本課中，教師致力于以趣味性游戲為載體引入新課，充分調動學生的學習積極性。問題的設計也是從學生的生活入手，通過問題“男生與女生相比，哪個套得更準一些？”將學生的注意力吸引到對數學問題的研究上去，使學生經歷了從游戲到數學的自然過渡，實現了新知的導入，而這里思維活動和數學猜想都是由“已有知識”逐步演變而來，從而為下一步的抽象和建模作好了鋪墊[1]。

2. 從操作中發現規律和問題，感知模型思想

教材中的大部分問題所呈現的都是規范性問題，而建模問題的猜想、抽象和轉化這一重要環節已然省略，而這一環節可以讓學生感受到過程探究的必要性。問題的解決是學生領會模型思想的有利契機。為此，本課中教師有意識地引導學生去實踐操作，讓學生真切感受模型的抽象和轉化。在這個過程中，教師放慢腳步，讓學生從動手操作的過程中，逐步找尋到數學關系和規律，將操作中的狀態和數學中的原理實行對接。通過對學具板的移移補補，讓學生獲得感知，逐步發現平均的方法，從而深刻理解平均的意義，初步感知平均數模型[2]。

3.讓學生經歷深度思考的過程，領會模型思想

數學思考是數學學習的關鍵一步，對問題的推廣本質上就是以挑戰性思考引導學生深度理解該模型，是發展學生模型思想的關鍵。這就需要教師善于設問于學生的最近發展區，為學生更深入地思考問題提供可能。本課中，教師留出時間給學生思考和反思建模的過程，讓學生感悟到套圈游戲中平均數的意義，從而讓學生把游戲從具體的操作推廣到一般。在建模的過程中，發展學生的想象力，強化模型思想的領悟[3]。

總之，在學生的頭腦中固化模型思想是一個循序漸進的漫長過程，需要教師一以貫之地重視和滲透，結合學生的實際水平逐步推進，讓學生經歷數學活動的過程，為學生創造感悟和反思的時機，使其經歷一個從模糊到清晰的領悟過程，讓思維混亂的學生逐步學會思考，并在不斷體悟中獲得模型思想，從而逐步內化為自身的一種核心素養。

參考文獻：

[1]? 楊承軍. 義務教育階段滲透數學模型思想的意義與策略探究[J].教育評論，2014（4）.

[2]? 史寧中，孔凡哲. 方程思想及其課程教學[J]. 課程·教材·教法，2004，24（9）.

[3]? 陳德前. 培養學生模型思想的實踐與思考[J]. 中學數學教學參考，2014（z1）.