數(shù)學(xué)教學(xué)中對“元認(rèn)知”的初步認(rèn)識

錢蕓

[摘? 要] 文章通過“一元二次方程的解法——配方法”的教學(xué)，闡述如何對學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練，并通過問題串的方式讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的本質(zhì). 元認(rèn)知學(xué)習(xí)并不是一節(jié)課就能解決的，所以教師要在平時的教學(xué)中不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

[關(guān)鍵詞] 元認(rèn)知;數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng);深度學(xué)習(xí)

元認(rèn)知思想

要了解元認(rèn)知的概念，首先應(yīng)了解人的認(rèn)知活動. 人的認(rèn)知活動一般來說可以劃分為認(rèn)知活動和元認(rèn)知活動. 認(rèn)知活動是指對客觀事物的特征及事物之間聯(lián)系的反映，認(rèn)知活動研究的是有關(guān)問題、資料等具體的信息，而元認(rèn)知活動是人類對自己認(rèn)知過程的一種自我覺察、自我評價、自我調(diào)節(jié)的過程. 元認(rèn)知的概念比認(rèn)知活動更高級，它是任何以認(rèn)知過程與認(rèn)知結(jié)果為對象的知識，或是任何調(diào)節(jié)認(rèn)知過程的認(rèn)知活動.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對“元認(rèn)知”

的初步認(rèn)識

（一）教學(xué)過程

本節(jié)課題為“一元二次方程的解法——配方法”，筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)以及提問中都涉及了“元認(rèn)知”.

1. 溫故知新

師：方程（x+3）2=5的解是什么？

生（齊）：x=-3± .

師：你們解這個方程用的是什么方法？

生（齊）：直接開平方法.

師：用這種方法的依據(jù)是什么？

生1：兩邊開方.

生2：平方根的意義.

師：解一元二次方程的基本思路是什么？

【學(xué)生經(jīng)過筆者的提示，回答出了答案：二次方程→一次方程. 教師補(bǔ)充：降次.】

教師小結(jié)：形如（x+h）2=k（k≥0）（方程的左邊必須是完全平方式，方程的右邊必須是一個非負(fù)常數(shù)）的一元二次方程可以用直接開平方法求解.

這既是對上一節(jié)課的復(fù)習(xí)，也是這節(jié)課的開端.

2. 思考討論

師：如何解方程x2+6x+9=5？

學(xué)生通過復(fù)習(xí)，馬上就想到了方程的左邊是一個完全平方式，用直接開平方法很快速地就解決了.

師：如何解方程x2+6x+4=0？

生1：方程兩邊同時加上5……

師：如果把方程左邊的“+4”變成“+3”，這個方程該如何解決？

生2：方程兩邊同時加上6……

師：方程左邊的常數(shù)變化時，每一次方程左、右兩邊所加的數(shù)都要改變才能用直接開平方法嗎？

生3：是的.

生4：只需要保證方程左邊最終的常數(shù)項(xiàng)為9就行了.

師：請把你的解答過程敘述一遍，老師來書寫.

師：上述解方程的第一步是什么？

生4：移項(xiàng).

師：上述解方程的第二步為什么要加“9”？

生4：湊完全平方公式.

師：這個“9”是怎么湊出來的？

生4：根據(jù)完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2來湊.

師：接下來用什么方法來解？

生（齊）：直接開平方法.

師：恭喜你們，你們學(xué)會了一種新的解一元二次方程的方法——配方法.

3. 引出新課題

師（敘述基本概念）：像上面那樣，先把一個一元二次方程變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數(shù)），若k≥0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

師：用配方法解一元二次方程的基本步驟是，第一步，變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數(shù)）;第二步，用直接開平方法解方程.

師：第一步變形后，假如k<0怎么辦？

生1：此方程無實(shí)數(shù)解.

師：你們認(rèn)為用配方法解一元二次方程最大的難點(diǎn)是什么？

生2：湊完全平方式.

【接下來，筆者對配方進(jìn)行了基礎(chǔ)鞏固. 首先復(fù)習(xí)了完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，然后通過填空的方式鞏固完全平方公式. 具體的試題如下.】

填一填：

（1）x2+2x+____=（x+___）2;

（2）x2-8x+____=（x-___）2;

（3）y2+5y+____=（y+___）2;

（4）y2- y+____=（y-___）2.

師：等式右邊所填的這個數(shù)和等式左邊的一次項(xiàng)系數(shù)有何關(guān)系？

生3：所填的這個數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半（由于已有符號，所以所填的數(shù)應(yīng)該是一次項(xiàng)系數(shù)一半的絕對值）.

？搖師：等式的左邊所填的這個數(shù)和等式右邊所填的數(shù)又是什么關(guān)系？

生4：等式左邊所填的這個數(shù)是等式右邊所填數(shù)的平方.

師：這個過程就是配方的過程. 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時才有這個規(guī)律. 當(dāng)二次項(xiàng)已知且二次項(xiàng)系數(shù)為1，并且一次項(xiàng)已知時，進(jìn)行配方時等號左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

4. 例題探究

用配方法解下列方程：

（1）x2-4x+3=0;

（2）x2+3x-1=0.

對于第（1）題，在板書的同時，教師小結(jié)了用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：

①移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;

②配方，方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;

③開方，根據(jù)平方根的意義，方程兩邊同時開平方，化為兩個一元一次方程;

④求解，解這兩個一元一次方程;

⑤定解：寫出原方程的解.

對于第（2）題，學(xué)生口述，教師板書. 出現(xiàn)易錯點(diǎn)時，教師及時糾正，并培養(yǎng)孩子清晰的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.

【接下來，教師給出練習(xí)題，以讓學(xué)生鞏固所學(xué). 】

用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-7=0;

（2）x2+3x+1=0.

5. 拓展提升

用配方法解一元二次方程：2x2+x-6=0.

師：這個方程和前面的方程有什么不同？

生1：前面的方程容易配方一些.

師：那么，為什么這個方程不容易配方呢？

生1：因?yàn)榍懊娴姆匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)都是“1”.

師：那如何把這個方程的二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)椤?”呢？

生2：方程兩邊同時除以2就可以了.

師：這樣做的依據(jù)是什么？

生3：等式的基本性質(zhì).

師：很好！于是二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”的一元二次方程，也可以用配方法求解了！

（二）教學(xué)反思與感想

整節(jié)課抓住了配方法的本質(zhì)，滲透了降次和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 這節(jié)課的提問非常符合這一階段學(xué)生的思維方式，整節(jié)課學(xué)生都在不斷地調(diào)整認(rèn)識中逐步掌握知識，符合元認(rèn)知訓(xùn)練的結(jié)構(gòu). 課堂上，筆者采用元認(rèn)知的基本思路對學(xué)生進(jìn)行細(xì)致的引導(dǎo). 元認(rèn)知的思路結(jié)構(gòu)給學(xué)生搭好了思路的“梯子”，讓他們在思維上面一步一步地往上爬，學(xué)生非常輕松地學(xué)會了一元二次方程的新解法——配方法. 師生之間的問答，循序漸進(jìn)，能提升學(xué)生的元認(rèn)知能力. 學(xué)生的書寫思路清晰，實(shí)現(xiàn)了知識的遷移，且自主探究給予了他們一種強(qiáng)烈的成就感.

在這節(jié)課中，如果筆者直接提出新課題“配方法”，學(xué)生會產(chǎn)生疑惑，且會有畏難情緒，于是筆者將整節(jié)課設(shè)計(jì)為遵循元認(rèn)知規(guī)律的一堂課，問題串就是架構(gòu)元認(rèn)知思維的扶梯. 在這節(jié)課中，元認(rèn)知的體驗(yàn)是在不知不覺中進(jìn)行的，元認(rèn)知結(jié)構(gòu)也較為完整. 當(dāng)然，元認(rèn)知的訓(xùn)練不能只用在一節(jié)課上，要普遍運(yùn)用于平時的教學(xué)活動. 在筆者目前進(jìn)行的數(shù)學(xué)教研活動中，理解概念、記憶定理、證明命題等活動都屬于認(rèn)知活動，而怎樣更快地理解、記憶和掌握解題策略的一些選擇、方法和對其結(jié)果的評價等則屬于元認(rèn)知活動. 數(shù)學(xué)元認(rèn)知是我們對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的認(rèn)識、監(jiān)控和總結(jié)，元認(rèn)知結(jié)構(gòu)則是以上三者的有機(jī)結(jié)合. 元認(rèn)知知識是我們對自己、他人認(rèn)知活動的過程、結(jié)果等事項(xiàng)的認(rèn)識，主要依靠情境性知識、程序性知識、評價性知識、數(shù)學(xué)核心思想、數(shù)學(xué)思維模式和數(shù)學(xué)策略性知識等;元認(rèn)知體驗(yàn)是伴隨我們的認(rèn)知活動所產(chǎn)生的自覺意識和情感體驗(yàn);元認(rèn)知監(jiān)控是通過前面兩者的相互作用，從而實(shí)現(xiàn)對認(rèn)知的目標(biāo)、方向、策略和進(jìn)程的一種監(jiān)督、調(diào)節(jié)和控制手段.

（三）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“元認(rèn)知”的關(guān)系

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與“元認(rèn)知”有著密切且不可分割的聯(lián)系. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)活動為載體，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)知識技能的學(xué)習(xí)過程中形成的，有助于學(xué)生深刻理解與掌握數(shù)學(xué)知識技能. 對于義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，東北師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院馬云鵬教授認(rèn)為：“10個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. ”采用元認(rèn)知訓(xùn)練可以大大提升培養(yǎng)這些能力的效率. 比如，讓學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)想象中的情境，在情境中體驗(yàn)數(shù)感;讓學(xué)生通過記錄并總結(jié)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)程和學(xué)習(xí)效果來進(jìn)行自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié);對現(xiàn)有的模型進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，總結(jié)不足并牢記經(jīng)驗(yàn);總結(jié)自己的學(xué)習(xí)活動規(guī)律，并結(jié)合自身記憶特點(diǎn)、遺忘特點(diǎn)等進(jìn)行思維品質(zhì)的提升. 我們要從實(shí)際教育教學(xué)出發(fā)，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透元認(rèn)知訓(xùn)練，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培育.

（四）深度學(xué)習(xí)與“元認(rèn)知”的關(guān)系

要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)、內(nèi)涵，學(xué)生必須進(jìn)行深度學(xué)習(xí). 深度學(xué)習(xí)具有批判思維、知識整合、深度加工、主動建構(gòu)、遷移應(yīng)用等特征，屬于以高水平思維為核心特征的高階學(xué)習(xí). 因此可以認(rèn)為，促進(jìn)元認(rèn)知發(fā)展是深度學(xué)習(xí)研究的主要目標(biāo)之一. 元認(rèn)知訓(xùn)練依托課堂，并結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行元認(rèn)知知識講授與元認(rèn)知技能訓(xùn)練，通過對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的觀察，分析學(xué)生學(xué)習(xí)活動中的不足，并對教學(xué)過程及時進(jìn)行調(diào)整，以促進(jìn)學(xué)生對知識的主動建構(gòu)、深度理解、批判接受、遷移應(yīng)用及對復(fù)雜問題的有效解決，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn). 問題解決是元認(rèn)知訓(xùn)練和深度學(xué)習(xí)的共同最終目標(biāo)，提升初中生數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)能力必然會促進(jìn)問題解決能力、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的縱深發(fā)展，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

綜上所述，元認(rèn)知就是要努力激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)興趣，讓他們積極主動地投入學(xué)習(xí)，避免消極被動地接受，且應(yīng)調(diào)動一切有利的因素進(jìn)行分析、思考、解惑、排疑. 學(xué)生應(yīng)思考學(xué)習(xí)本身的內(nèi)涵、目的、方法、施控手段、檢驗(yàn)指標(biāo)、評價標(biāo)準(zhǔn)等，從而達(dá)到主動自學(xué)并提升學(xué)習(xí)效果的目的.