構造“二次”是關鍵 尋找“關系”是根本

董榮森 李萍

【摘 要】 圓錐曲線中有關直線恒過定點問題是近幾年全國高考數學的熱點與難點，由于這類題能夠較好地考查學生的數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養，所以受到命題者的青睞.解決這類問題常規方法往往思路清晰但運算繁瑣，在短時間內學生很難完成從而失分.針對這個問題，本文研究了以橢圓為背景類似“手電筒”模型中直線恒過定點問題，除了常規方法外，介紹另外兩種方法.

【關鍵詞】 “手電筒”模型;二次齊次式;定點問題

1 研究背景

圓錐曲線中有關直線恒過定點問題是近年全國高考的一個熱點和難點.以拋物線、橢圓為背景的有關直線恒過定點問題，往往作為高考壓軸題出現，如2017年高考全國Ⅰ卷第20題、2020年高考全國Ⅰ卷第20題、2020年新高考山東卷第22題等，都涉及到有關證明直線恒過定點問題，其背后都有著一脈相承與本質的東西.這類解答題能夠較好地考查學生的數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養.解決這類題常規方法是設出直線方程（含有兩個參變量），聯立方程組結合已知條件尋找兩個參變量之間的關系，回代直線方程進而求出定點，該方法思路清晰但運算繁瑣.除了這種方法外，有沒有更好的方法或解決此類問題更好的方案呢？本專題以橢圓為背景，著重研究類似“手電筒”模型中有關直線恒過定點問題，培養學生的創新意識與創新思維，發展學生數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學核心素養[1].

2 選題意圖

真題探究中的例題是2017年高考全國Ⅰ卷第20題，將橢圓與直線的有關知識相結合，其目的讓學生學會運用“二次齊次法”和“二次聯立法”處理圓錐曲線中有關直線恒過定點問題;借題發揮中的例題是2020年高考全國Ⅰ卷第20題，選擇的目的是讓學生學會通過轉化，運用“二次齊次法”和“二次聯立法”解決問題;思維拓展中的例題是2020年新高考山東卷第22題，選擇的目的是幫助同學們領會這道高考解析幾何題背后本質的東西.

通過本專題中問題的分析與講解，讓學生能根據試題條件與圖形結構特征合理地設出直線的方程（引入兩個參變量），通過對圓錐曲線方程進行等價轉化與變形，從而構造二次齊次式，再運用韋達定理尋找兩個參變量之間的關系，培養學生的創新意識和創新思維，提升學生分析問題、解決問題的能力，有助于發展學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養.

總之，解析幾何是數學綜合性非常強也是比較難的教學模塊，教學中我們要立足問題解決的全過程，發展學生的“四能”[2].由于大部分高考解析幾何題有多種解法，引入參數不同，運用參數不同，其運算的繁簡程度也會不同.以橢圓為背景的類似“手電筒”模型中直線恒過定點問題，運用“二次法”來解決，其關鍵是構造“二次”，根本是由斜率關系利用韋達定理來尋找兩參變量“關系”，有時兩直線斜率關系不明顯，需要我們進行探尋與轉化.要成功解決這類綜合問題不僅需要扎實“四基”即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，還需要高品質的數學學科核心素養，如數學運算、數學抽象等，更需要靈活的數學思維、關鍵能力和永不言敗、堅持到底的拼搏精神.

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.1.

[2] 史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.5：66.

作者簡介 董榮森（1969—），男，安徽蕪湖人，教育碩士，中學正高級教師，江蘇省特級教師，江蘇省教學名師，江蘇省“333高層次人才”培養對象，主要從事數學教育與中學數學課堂教學研究.