大觀念視角下的反比例意義教學

林志輝 陳柯柯

【關鍵詞】小學數學 反比例 函數思想 數形結合

教學內容：人教版數學六年級下冊第47、48頁。

反比例函數是重要的數學模型，體現了基本的函數思想，在數學思想層面上對以前所學過的許多數學問題和數學規律等進行一般化和模型化，對學生代數思維的發展十分有益。課程標準要求第二學段的正比例教學注重表格數據分析、圖像分析和關系式概括，是一個完整的建模過程。而回顧小學階段課程標準對反比例的要求，較為關注表格內數據分析與關系式概括，不要求出現反比例圖像。反比例圖像為一條光滑的曲線，學生確實較難通過描點法畫圖得到。但教學時反比例真的可以不需要圖像嗎？

一、教材對比中的數形需求

橫向對比7個版本的教材，筆者發現人教版、蘇教版和浙教版不約而同都提出了字母式和圖像。其他版本教材雖然沒有明確地提出字母式和圖像，但定義描述時都提到了字母式的雛形。各版本教材不約而同引入了反比例的圖像和關系式，由此可見引入圖像是有必要的。

進一步對比7個不同版本的教材，雖然提供的學習素材不同，但都是結合具體情境來認識反比例關系，有些教材用足一個素材，有些教材則通過不同的素材比較，來幫助學生更好地理解反比例，判斷兩個量是否成反比例關系。而對反比例的定義主要分成兩種形式：結合具體例子和科學規范的定義。

因為之前學習了正比例，筆者認為學生已經有了一定的抽象概括能力，將一個素材用足，在科學規范的定義下，既能幫助學生對反比例函數有科學的認識，同時有利于培養學生的抽象概括能力。

二、學情分析下的數形需要

反比例函數是學生在學習完除法、分數、比、方程等數學知識后的綜合與提升。在教學本堂課前，筆者思索學生對于成反比例關系的兩個量到底有怎樣的前情認知，所以在正式上課之前，進行了學習單的檢測（如圖1）。

筆者對129個學生進行抽測，根據學習單，我們發現學生能借助圖表發現簡單的規律，A中畫面積是12cm2的長方形，20.9%的學生能發現“寬變大，長反而變小”，41.9%的學生能發現A中長和寬的“積不變”。B中23.3%的學生能發現“寬變大，長隨著變小”，46.5%的學生能發現“和不變”。由此可見，在學習完正比例的基礎上，學生雖能關注到兩個量之間的關系，但對于“積不變”的感悟是不深刻的，在量的關注上還需要教師進行引導，因此數形的引入就顯得十分有必要。

三、數形結合下的模型建立

（一）初識數形特點，關注量的規律

1.探究“學習單A”量的規律

師：課前我們做了一份學習單，和你的同伴交流你發現的規律，記錄你認同的新規律。

師：你猜她發現了什么規律。（如圖2）

生1：寬增加，長減少。

生2：長乘寬的積都是12。

師：為什么長和寬都在變化，而面積一直不變呢？

生：當寬乘2時，長除以2，就是積的變化規律。

2.對比“學習單B”量的規律

師：學習單B中的長和寬的變化規律和A中長和寬的變化規律有什么相同或不同的地方？（如圖3）

生：一個數增加，另一個數減少，相加所得的和都一樣。

設計意圖：學生通過“畫圖一填數一找規律一找異同”4個步驟探究面積是12cm2的長方形，周長是12cm的長方形。基于學習單A和B的對比，筆者發現學生都能用自己的語言結合圖表發現學習單A和B中長和寬變化，學生的語言雖質樸，卻能清晰地表達出學習單A與B中長和寬變化的異同點。通過第一次學習單的對比，學生對于兩個量的變化規律有了一定的認識，為進一步學習反比例知識埋下了伏筆。

（二）建構數形對應，初步抽象模型

學生帶著問題自學課本：

①怎樣的兩個量成反比例關系？

②A和B中的兩個量成反比例關系嗎？

師：像這樣一個量增加，另一個量減少，這樣的兩個量在數學上成什么關系呢？

師：A表中的兩個量是否成反比例關系？小組討論。

生：A表中兩個量成反比例關系，因為一個量增加，另一個量減少，且積不變。

師：（如圖4）寬為lcm，長為12cm，寬為2cm，長為6cm，隨著寬增加，長減少，而積始終不變。像這樣的圖像就叫反比例圖像。

師：B中，隨著寬增加，長也減少，所以B中的長和寬成反比例關系，贊同的請舉手。

生1：對，因為一個量增加，另一個量減少，所以這兩個量成反比例關系。

生2：不對，雖然它們一個量增加，另一個量減少，但是它們的和是6，反比例要乘積一定，所以它們不成反比例關系。

師：到底怎樣的兩個量成反比例關系呢？

師：像這樣寬增加，長減少，長和寬的積一定，我們就說長和寬成反比例關系。這就是反比例的圖像和關系式。

設計意圖：本環節學生經過三次對比，逐步促進了對反比例意義的理解。首先基于學生自學，對比學習單和書本課例，初步感悟反比例意義。再通過反比例對比量的變化規律，輔以課件呈現圖像對比，進一步對比量之間的關系，抽象出關系式，初步建立反比例模型。

（三）對比數形特征，深化比例模型

師：長為6cm，寬和面積成反比例關系嗎？（如圖5）

生：不是，成正比例關系。

師：誰能說一說怎樣的兩個量成正比例關系？還記得正比例的圖像嗎？比一比。

生：一個量增加，另一個量也增加，且商不變，這樣的兩個量成正比例關系。

師：都是長、寬、面積，為什么一個是成反比例關系，一個成正比例關系？正比例和反比例有什么相同點和不同點？

生1：寬增加，長減少，乘積不變，所以長和寬成反比例關系。寬增加，面積也增加，它們的商一定，所以面積和寬成正比例關系。

生2：相同的是量都在發生變化，而且值都一樣，不同的是一個量增加，另一個量減少，正比例同時增加或減少，且反比例的積一定，正比例的商一定。

設計意圖：能找出正比例和反比例的異同點，正確區分正比例和反比例。從量的變化規律、圖像的區別等人手，進一步深化對于兩種比例關系的理解，并打通正比例和反比例之間的聯系。

（四）融匯應用數形，內化模型思想

師：（出示圖6）判斷各題中兩種量是否成比例關系。若成比例，成什么比例關系？

師：回顧我們課堂中成反比例關系的兩個量，你有什么想說的？

生：成反比例關系的兩個量相乘的積一定相等。

師：對于反比例，你腦中留下了什么印象？

（生回答，如圖6）

設計意圖：學生在同一情境中，緊抓兩個量的變化規律，深入理解成反比例關系兩個量的變化，已經了解了正比例和反比例以及不成比例之間的異同。在本次對比中，筆者發現學生會在腦中留下反比例的關系式和圖像，這說明反比例的模型已經有了一定的建立。