巧用反例益處多

摘 要：數學教育呈現出嚴謹、科學、多樣、求實的特點，要將數學教育的價值最大程度的發揮出來，幫助學生在有限的空間中掌握數學知識，教師必須利用最新的教學方法解決已經出現的教學問題，從多個角度培養學生的數學思維，本文針對初中階段的數學教育活動展開論述，思考如何利用反例優化數學教育工作.

關鍵詞：初中數學;反例;應用策略

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2021）26-0020-02

收稿日期：2021-06-15

作者簡介：王太廣（1982.11-），男，江蘇省鹽都人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.[FQ）]

作為一種全新的教學材料，反例在啟發學生的數學智慧的同時，允許其從截然不同的角度思考數學問題.與傳統的教學方法相比，反例能夠幫助學生從理論、實踐、技能、思想等角度思考，重新定義數學教學活動.在當前的初中數學教育中，少有教師能夠意識到反例的應用價值，部分教師對于反例的認知依舊比較片面.如何應用反例解決教學問題，培養學生的數學思維，這是應用反例之前必須解決的重要問題.

一、反例的教育價值

1.對學生能力與教學活動的影響

反例已經成為當前的數學教育活動中最為常見的一種教育手段，與傳統“追求正確答案”的教學理念相比，反例強調的是數學問題中存在的錯誤，作為一種全新的教學方法，其從截然不同的角度引導學生進行思考.結合當前的教學活動來看，反例在數學教育活動中展現出了極為出色的應用價值：一方面，其對學生的思維、能力發起反向訓練，要求學生根據不同的數學概念加工理論知識，從“驗證錯誤”的角度發起證明活動.對于初中生來說，提出一個錯誤的、與教學結論相悖的命題遠比提出一個正確答案更為簡單，在錯誤的反面示例被驗證之后，學生能夠以更為科學的態度掌握數學知識.另一方面，反例的出現對當前的教學活動實施同步優化.傳統的初中數學課堂較為枯燥，理論教育占據教學活動的主導位置，學生無法利用個人智慧加工教學知識.而在反例的引導下，“證明該命題是錯誤的”這一理念直接影響學生，學生能夠從數學定義中所展現出來的漏洞、矛盾等角度入手，推翻原有命題，以更為開放的方式掌握數學知識.可以說，反例的出現對學生思維的發展、教學模式的發展起到了很好地帶動作用，依靠反例的直接展示，學生得以從截然不同的角度思考數學問題，進而對教學要求作出積極回應.

2.對學生思維及教學計劃的影響

教學活動中的“靈光乍現”往往能夠為教師提供新的教育靈感，促使其將數學教育工作引領到新的道路上.在全新的數學教育理念下，僅針對理論所發起的教學活動已經無法滿足學生的發展需求，要將教學環節的“靈感”整合起來，在未來的教學活動中加以運用，教師必須將全新的教學理論導入到教學活動當中.合理應用反例調整數學教學活動，能夠幫助學生實現思維與能力的同步發展.從教學過程來看，反例的構建是一項非常具有挑戰性的任務，其不僅考驗學生對于數學概念的理解水平，更注重學生的數學積累，要求學生在錯誤定義中尋找到可用的材料，對學生的思考能力提出了較高的要求.結合當前的教學活動來看，反例為學生創造了一個全新的思考環境，在全面認知數學概念的情況下，反例允許學生對命題中的沖突點進行剖析，從而以更高的效率得出學習答案.在學生不斷提出反例并利用反例解決數學思考問題的過程中，原有的教學盲點被掃清，教師能夠根據學生所提出的觀點給出新的教學計劃.基于這一特點，反例所影響的不僅僅是學生，其也在一定程度上干預著未來教學活動的發展.

二、反例在初中數學教學活動中的應用

1.記憶數學概念，優化基礎教學

初中數學課程中包含著大量的數學概念，這些包含著文字、圖形、數字、符號等元素的數學定義相互混雜，在學生面前組成了一座不可逾越的高峰.回顧現階段的初中數學教學活動，針對定義所發起的數學教育已經成為學生無法解決的難點問題：大部分學生依舊采取“死記硬背”的方式記憶相關概念，對于數學定理、法則、定義的了解停留在文字層次，當教師提出新的思考問題時，學生根本無法結合公式、定理的概念對相關定義加以運用.部分學生的數學基礎較差，其甚至無法完全掌握基礎數學概念，在這種情況下，學生很難在教學活動中掌握數學知識.

為幫助學生更深入的掌握數學概念，在發起教學活動的過程中，教師可嘗試利用反例強化基礎知識的講解工作，從相反的、相悖的角度思考定義問題，幫助學生完成數學奠基.以初中數學教材《三角形全等的判定》的相關教學為例，在引導學生學習判定三角形全等的相關方法時，教師要求學生利用概念發起判定活動，但要在短時間內記憶“邊角邊”“角邊角”等概念，其學習壓力將陡然上升.為幫助學生更為全面掌握數學基礎知識，教師可將某個定義從數學教育活動中提取出來，引導學生針對相關概念提出反例.以下列定義為例“如果兩個三角形的兩個邊及夾角對應相等，則可判斷兩個三角形全等”，為幫助學生加深對于數學知識的理解，教師可將“夾角”改為“一邊的對角”或“任意一角”，促使學生主動對數學定義進行證明.通過提出與原結論相悖的反例，學生能夠在短時間內掌握數學概念的核心定義，進而對數學知識加以應用.

2.強化數學理解，應用數學知識

初中數學課堂中包含著較為復雜的抽象知識，對于學習能力較差的部分初中生來說，其學習難度較大，很難在短時間內掌握數學概念的核心定義.大部分學生對于數學知識的理解流于表面，當教學活動逐步深入時，學生對于數學知識的理解愈發片面.合理應用反例，幫助學生發現數學知識中的“不合理內容”，能夠提升學生對于有關知識的理解水平，促使其主動回答數學概念.

在全新的教學要求下幫助學生掌握數學概念，教師可將數學定義與教學活動結合起來，以全新的方式解讀數學知識，使學生全面了解不同知識點之間的差異性，加深學生的記憶.以初中數學有理數與無理數的相關學習為例，在這一板塊的教學活動中，不難見到具有迷惑性的思考問題，如“兩個無理數的和或差一定是無理數”“兩個有理數的和或差一定是無理數”等，為幫助學生掌握有理數與無理數的定義，教師可要求學生獨立發起運算活動，將“特殊”的運算結果引入到當前的課堂當中.在學生實踐之后，其能夠利用“7-3”“5+7”等簡單計算推翻問題中所給出的結論，應用有理數與無理數的概念解決探究類問題.

初中階段的數學知識表現出了一定的系統性、連貫性，各個教學知識相互影響，共同構成了復雜的知識結構.在嘗試幫助學生掌握某一概念的過程中，其他已經學習的數學知識可能會重新出現在當前的數學教育活動當中.在這種情況下，數學課程的教育價值與科學價值很難得到保障.

為幫助學生培養良好的邏輯思維，強化學生的數學表達能力，教師可從數學教育的邏輯性、條理性特點入手，依靠反例重新展示教學知識，對原有的教學體系進行補充，從而實現多個數學概念的聯動融合.以初中數學教材中“一元一次方程”的教學為例，教師在黑板上展出問題：a4+a=10是否為一元一次方程？部分學生結合方程中未知數的指數、未知數數量給出答案：該方程屬于一元一次方程，部分學生則提出否定意見，認為該方程不符合整式的定義，故而不能算作一元一次方程.面對學生所提出的有爭議性的學習結論，教師可將整式的定義、一元一次方程的定義導入到課堂當中，引導學生將定義視為反例，結合定義思考相關問題.

通過對數學概念的重新整理，教師能夠初步了解學生對于數學知識的掌握程度，并將既有的知識作為反例引入到課堂教學活動當中，提升自身對于相關概念的理解水平.

反例能夠幫助學生實現思維上、能力上、學習技巧上的躍遷，針對這一特點，教師可在概念記憶、數學運算、知識梳理等活動中合理應用反例，依靠相悖的、沖突的結論調動學生的思考欲望，促使其主動對教學問題作出回應.反例是開放的，教師在嘗試應用反例的過程中，也應為學生創造開放的學習環境.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]