輪換矩陣可逆性的判定及其逆的計算

馮福存

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756099)

自1885年T.Muir提出了輪換矩陣的概念后，眾多數(shù)學(xué)工作者對其進(jìn)行了大量研究，輪換矩陣的應(yīng)用廣泛，涉及眾多現(xiàn)代科學(xué)和工程領(lǐng)域，如編碼理論[1]、密碼學(xué)[2]、數(shù)字圖像識別[3]、最優(yōu)化等領(lǐng)域.文獻(xiàn)[4]給出有限域Fq上n階輪換矩陣的特征多項式和極小多項式的表達(dá)式,文獻(xiàn)[5]利用特征值給出了一類特殊循環(huán)矩陣的判別及其對角化方法.矩陣求逆是矩陣代數(shù)中的一個重要運(yùn)算，矩陣可逆的判定有相應(yīng)的等價命題，但逆矩陣的獲得卻困難較多.本文在文獻(xiàn)[6]的研究基礎(chǔ)上，利用特征值和矩陣行列式的關(guān)系及多項式理論的相關(guān)知識給出了輪換矩陣可逆的兩個等價命題，并給出了輪換矩陣逆矩陣的計算方法.為了敘述方便，記F[x]表示數(shù)域F上的一元多項式全體組成的集合，Pn×n為數(shù)域P上全體n階方陣的集合，本文所提矩陣若無特殊說明，均指n階方陣.

1 預(yù)備知識

定義1 若A∈Cn×n有如下形式

稱A為輪換矩陣.因為輪換矩陣由首行元素決定，可記為A=circ(a0,a1,…,an-1).

定義2 若T∈Cn×n有如下形式

稱T為基本輪換矩陣.

引理1[7]設(shè)f(x),g(x)∈F[x]，則f(x)與g(x)互素的充分必要條件是存在u(x),v(x)∈F[x]使得

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.

引理2[8]多項式f(x)無重因式當(dāng)且僅當(dāng)(f(x)，f′(x))=1.

引理3[9]若方陣A的特征值是λ，則矩陣多項式φ(A)的特征值是φ(λ).

引理4設(shè)f1(x),f2(x),g(x)∈F[x]，若(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，則(f1(x)f2(x),g(x))=1.

證明因為(f1(x),g(x))=1，(f2(x),g(x))=1，由引理1可知存在ui(x),vi(x)∈F[x],(i=1,2)，使得

u1(x)f1(x)+v1(x)g(x)=1，

(1)

u2(x)f2(x)+v2(x)g(x)=1.

(2)

(1)，(2)兩式相乘得

(u1(x)u2(x))f1(x)f2(x)+(u1(x)v2(x)f1(x)+v1(x)u2(x)f2(x)+v2(x)v2(x)g(x))g(x)=1，

所以(f1(x)f2(x),g(x))=1.

2 輪換矩陣的性質(zhì)及其拓廣

性質(zhì)1 若A,B是輪換矩陣，則AT和λ1A+λ2B也是輪換矩陣.

證明由定義1知，顯然.

性質(zhì)2 基本輪換矩陣T是可逆的，其特征值是n個互不……