一類非奇異H-矩陣判定的充分條件

楊亞芳，梁茂林

(天水師范學院 數學與統計學院，甘肅 天水 741001)

1 預備知識

H-矩陣在數學，物理，控制論及經濟數學等許多領域有著重要的研究價值和實用價值.對H-的判定許多作者給出了一些研究成果[1-6].本文用比較矩陣元素的方法，給出了判定非奇異H-矩陣的一組新條件，改進了已有的一些判定方法.

用Cn×n表示n復矩陣的集合.設A=(aij)∈Cn×n,對?i,j∈N={1,2,…,n},記

定義1[1]設A=(aij)∈Cn×n,若存在α∈(0,1],使得|aii|≥Ei,則稱A為α-對角占優矩陣；若|aii|>Ei,則稱A為嚴格α-對角占優矩陣，記為A∈D(α)；若存在正對角矩陣X，使得AX∈D(α),則稱A為廣義嚴格α-對角占優矩陣，記為A∈D*(α).

引理1[3]設A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],則A非奇異H-矩陣(記作A∈D)當且僅當A∈D*(α).

引理2[1]設A=(aij)∈Cn×n,若A為不可約α-對角占優矩陣，或A為具有非零元素鏈的α-對角占優矩陣，則A∈D.

另記

N1={(i|0<|aii|=Ei},N2={(i|0<|aii|

則N=N1⊕N2⊕N3.易知，若N1∪N2=?,則A∈D; 若N3=?,則A?D; 因此常假設N1∪N2≠?,N3≠?.定義

易知Pi(A)≤Ei<|aii|， 且

根據文[7]中引理1，本文中總假設Λi(A)≠0,Si(A)≠0,i=1,2,…，n.另記

i∈N2，

2 主要結果

定理1 設A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],且I1(A)=?,若i∈N2，

(1)

成立，則A∈D.

(2)

(3)

記

(4)

(5)

(6)

構造D=diag{d1,d2,…,dn}, 其中

記B=AD=(bij),下證B∈D(α).

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

|bii|-αΛi(B)-(1-α)Si(B)

綜上所述，|bii|>αΛi(B)+(1-α)Si(B),(i∈N),即B∈D(α),因此A∈D.

注由于

i∈N2.

故本文定理1包含了文獻[4]的定理1，因此改進了文獻[4]中的主要結果.

定理2 設A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1], 且A不可約，如果i∈N2，

(7)

記I2(A)={i∈N2|使(7)式中等號成立了}，且N1∪N2I2(A)≠?,則A∈D.

三是結合實際工作及時給予員工精神鼓勵。既要表揚團隊，又要逐一表揚每位員工的比較優勢，要讓員工覺得自己對于團隊很重要，有一種“主角”的感覺，充分發揮優秀員工的模范帶頭作用，從而實現整個團隊共同進步。

構造對角矩陣D=diag{d1,d2,…,dn}，令B=AD=(bij)，其中

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

?i∈N2, 由(6)知

αΛi(B)+(1-α)Si(B)

?i∈N3,

|bii|-αΛi(B)-(1-α)Si(B)

≥0.

定理3 設

證明類似定理2的證明可得B=AX=(bij)滿足|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)(?i∈N),且上式中每個等號成立的i必然屬于集合I2(A)∪(N1I1(A))∪(N3I3(A))， 而當i∈I2(A)∪(N1I1(A))∪(N3I3(A))時必有aij1aj1j2…ajk-1k≠0, 滿足k∈I1(A)∪(N2I2(A))∪I3(A)， 易知這樣的k必有

|bkk|≥αRk(B)+(1-α)Sk(B)(k∈N).

由引理2知A∈D.

注：當式(7)成立時，|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)(?i∈N)成立，集合I……