數學課堂中發散思維的培養

時斐

新實施的《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出，要重視學生思維創新能力、發散能力、集中能力等方面智力水平的發展和培養，按照教學原則和學生思維發展規律，開展形式多樣的有效教學活動，促進學生思維能力的發展和提升。由此可見，學生發散思維能力的培養已成為教師貫徹落實新課標發展理念，實施有效教學活動的重要內容之一。

一、運用多種教學方法培養學生的發散思維能力

發散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀。布魯納說過：“探索是數學的生命線。沒有探索，便沒有數學的發展。”因此數學教學要特別重視學生發散思維能力的培養，它是思維過程中的最高境界。在教學過程中，可采用一題多想、一題多解、一法多用、一題多變、一空多填等方法培養學生的發散思維。

1. 一題多想。在教授“圓的切線”這一節課時，教材中給出的結論只和圓有關，而此節課的內容和許多知識都有聯系。因此，在授課時可讓學生自由發揮，找出相關結論，學生既學習了新知識又復習了舊知識，并且鍛煉了想象能力。在課堂上我只給出：

已知P為圓O外一點，PA、PB切圓O于A、B，連接OP交弦AB于C（只給條件，不給結論），然后引導學生觀察圖形，思考其有什么特點。學生思維不同，所得的結論也不相同：

（1）圖中有三組全等三角形；

（2）圖中有六組相似三角形；

（3）圖中有六組成比例線段；

（4）圖中AB垂直OP，滿足直角三角形性質……

這樣，不僅讓學生學會了三角形的相關知識，還培養了他們的想象力，更重要的是學生通過深層次的思考認識了三角形更廣泛的特征，為進一步學習奠定了基礎。

2. 一題多解。在講授應用題的時候，可采用一題多解的方法鍛煉學生的發散思維能力。如：在講一元一次方程時，教師可以鼓勵學生多方面思考：

一艘輪船在兩碼頭間航行，順流需要4小時，逆流需要5小時，已知水流速度是每小時2千米，求兩碼頭間距離？

學生給出的解法如下：

（1）直接法

設兩碼頭間的距離為x千米。

（2）間接法

設船在靜水中的航速為x千米/小時，兩碼頭分別為A、B。

得 4（x+2）= 5（x-2），解得 x=18。

所以 AB=4（x+2）=80。

或 設船在順水中航速為x千米/小時，兩碼頭分別為A、B。

得 4x=5（x-4），所以 x=20。

所以 AB=4x=80。

……

3. 一法多用。在數學教學中，對一些較常見的解題方法可以引導學生自行總結，并在之后做一些相關的練習，加強學生的發散思維能力。例如，“重新分組分解法”是多項式因式分解的一種重要方法，學生掌握后，可引導學生再做一些相關練習，在實數范圍內分解因式：

相關練習：（1）解方程x（x+1）（x+2）（x+3）=24，求整數解；

（2）試證：四個連續自然數積與1的和是完全平方數。

……

4. 一題多變。所謂“一題多變”，是指通過變換條件，變換結論，以及條件、結論一齊變來得到新的題目。這樣做可以引導學生在學會解題后進一步深入探究，在自編自解中將題目的條件、結論推廣到一般情況。這種教學方式能使學生在提高數學思維能力方面得到更好的鍛煉，與“題海戰術”帶給學生的教益是不可同日而語的。

（1）變條件

求證：菱形相鄰兩邊中點連線為平行四邊形；平行四邊形相鄰兩邊中點連線為平行四邊形；任意四邊形相鄰兩邊中點連線為平行四邊形。

（2）變結論

（3）條件、結論齊變

求證：正三角形內任一點到三角形三邊距離和為定值；等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離和為定值；等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差為定值。

5. 一空多填。在學習乘法公式時，可以引導學生練習一空多填，培養學生的思維發散能力。

（□+△）2=□2+2□△+△2；

25x2+△2-（5x-△）2=10x△。

這種練習可以使學生對公式的基本結構有更清晰的認識，在一定的練習后，可以讓學生自編一空多填進行練習，對其知識的理解更有助益。

二、運用數學建模培養學生的發散思維能力

有的教師說數學建模對初中生來說太難理解，但是我認為適當地讓學生接觸所能理解的數學建模，對提高學生的數學學習興趣，激發學生的求知欲，培養學生的發散思維能力非常重要。下面我通過一個簡單的例題說明在進行邏輯思維推理時，怎樣運用數學建模思想調動學生的發散思維：

例：已知有雞、兔共200只，腿共640條，問雞、兔各有幾只？（雞兔同籠問題）

這是我國古代的數學問題，通常采用假設法，然后再利用置換法求解。如：假設200只全是兔，則總腿數應有200×4=800（條），這與實際已知總腿數相差800-640=160（條）。其原因是有雞存在，每當用一只雞置換一只兔時，腿數將減少2（條），運用歸一原理，160由2個80組成，故雞的數量為160÷2=80（只），從而兔子的數量便可以求解了。

在正常講解完畢后，教師可以鼓勵學生進一步思考，運用另外一套思路重新看這個問題：

首先讓每只雞都抬起一條腿，讓每只兔抬起兩條腿，則地面上總腿數剩下640÷2=320（條）；其次讓所有的雞都“飛”向藍天，并令所有的兔子再抬起一條腿，這樣地面上就剩下兔子了，而這次減少的腿數恰好是原來動物的總數，所以兔子的總數為320-200=120（只）。

綜合算式為：640÷2-200=120（只）。

通過上面的求解過程，可以推得以下計算公式：兔子的總數=已知動物的總腿數÷2-動物總數。

上述公式只用了一次除法運算和一次減法運算，比傳統的假設法結合置換法要簡單、容易，所以更受學生的歡迎。

三、形式多樣的教學模式鍛煉學生的發散思維

1. 數學課的多樣性。數學課不僅僅是探究和解決數學問題，也可以通過數學競賽、數學講座等多種活動，改變學生的學習方式拓寬學生思維，鍛煉其發散思維能力。

2. 數學融入生活。數學來源于生活，教師可以將日常生活中的利息計算、中獎概率、打折折扣等數學實際應用問題帶入課堂，引導學生活學活用。也可以讓學生走出教室，參加豐富多樣的課外實踐活動，尋找生活中的數學問題。運用數學知識解決生活中的實際問題，提高了學生的思考能力，有助于學生發散思維的培養。

四、良好的外部環境促進學生發散思維的發展

1. 相信學生。教師應相信每個學生都有創新潛能，并且要讓學生感受到教師的這種信任。

2. 建立良好的師生關系。良好的師生關系是一種民主、平等、自由、和諧的關系。師生之間在交流時，可以充分自由發散思考，適時地發表自己的觀點和見解，這有利于思維的創新。

3. 開展有效的交流。教師應提出一些能引起學生討論，稍具挑戰性的問題，并創設合適的情景，讓學生自由、積極地討論，在集思廣益中發現新的思路。

總之，只要教師在教學中引導學生用發散的眼光看待問題，用創新的思維解決問題，培養出來的學生就一定會是具有創新精神和實踐能力的人。

（作者單位：山東省德州市經濟開發區實驗小學）