基于混合單調系統理論的電壓動態響應分析

陳民權，張 謙，甘德強，擺世彬，田志浩，劉 剛

（1.浙江大學電氣工程學院，浙江省杭州市 310027；2.國網寧夏電力有限公司，寧夏回族自治區銀川市 750001）

0 引言

在自動化系統中，為獲得更好的控制與穩定性能，通常采用負反饋形式將輸出量信息送回輸入端構成閉環。具有負反饋調節的控制系統，通過自動修正輸出量與參考輸入量之間的偏差，使系統趨向設定值，并抑制回路中內擾和外擾的影響，較好地改善動態性能。

電力系統中存在大量的負反饋環節，如同步發電機的機端電壓自動控制、新能源并網換流器的功率跟蹤控制等，它們共同維持電網運行在穩定電壓與額定頻率。伴隨著清潔能源滲透率的逐步提高，越來越多的電源通過變流器接入電網［1］，此類電源的動態特性很大程度上取決于變流器控制模式［2］，使得電網負反饋調節特征更加突出。

在電網中廣泛存在的負反饋型控制模塊，大多采用局部輸出量作為反饋信號［3］。比如勵磁系統中的電壓調節器監測自身機端電壓，通過勵磁電壓和內電勢的調整讓發電機出口電壓跟蹤給定值。此外，電壓不穩定也主要是由局部的無功功率不足導致的。這些局部特性影響著電壓動態的魯棒行為，令系統雅可比矩陣呈現符號特征。把握這些系統特性與結構特征，有助于研究電壓動態響應規律。

長期以來，大量專家學者都在研究動態電壓穩定方面的有效分析方法［4］。時域仿真法［5］通過對用于描述電壓動態的微分-代數方程組開展數值積分獲得時域響應曲線。固定參數/初值組合下的時域軌跡結果直觀，可與真實錄波信號對比。但若系統包含不確定性時，計算量將大幅增加，同時其結果由于缺乏解析性，往往還需要借助功率平衡、電氣距離、短路比等近似判據開展穩定分析［6-7］。

李雅普諾夫直接法［8］不根據系統運動軌跡判別穩定性，而是直接從系統能量角度出發，構建能量函數給出穩定度。文獻［9］總結了使用啟發式能量函數法研究電壓穩定的一些結果，但仍未能計及勵磁系統的作用。

綜上所述，分析計及勵磁系統的電網電壓調節過程的內在性質，具有重要意義。本文致力于研究電壓動態模型的結構特征，指出其中蘊含的混合單調性，并應用混合單調系統理論分析電壓穩定性以及參數對其的影響。分析結果揭示了交流系統電壓穩定的數學物理基礎，同時表明交流系統電壓動態存在固有的魯棒性，對于仿真中可能出現的參數誤差也具有一定的容錯性。

1 混合單調系統的有界穩定性

一個開環輸入輸出系統的數學模型可描述為：

式中：x為狀態向量；u為輸入向量；y為輸出向量；f(·)和h(·)分別為狀態函數和輸出函數。

將上述開環系統的輸入與輸出直接相連（u=y），得到一個反饋閉環系統，其中動態系統視作前向通道，輸出函數作為反饋通路，共同組成一個閉合的回路，如附錄A圖A1所示。

1.1 混合單調與增廣系統

在上述閉環系統中，若動態系統是單調［10］的（即其雅可比矩陣的非對角元均非負），而反饋通路是單調遞減的（即負反饋），則

是混合單調的［11］。文獻［12］指出，一個混合單調系統的部分動態特性可以借助由其衍生出的一個對稱的規模倍增的增廣單調系統得到。對應增廣系統的數學模型如式（3）所示，具體結構如圖1所示。

圖1 增廣閉環系統的結構Fig.1 Structure of augmented closed-loop system

式中：x+和x-為增廣系統狀態向量。

1.2 增廣估計有界

更進一步，如果采用區間頂點作為狀態初值的增廣系統的解軌跡是有界的，那么從相同區間內任一點出發的原系統的解軌跡也一定是有界的。

下面給出增廣系統解有界的充分條件。

如 果 存 在x+≥x-滿 足f(x+，h(x-))≤0≤f(x-，h(x+))，那么[x-，x+]是系統式（2）的正不變集，從[x-，x+]T出發的增廣系統解軌跡是有界的［14］。

以一個二階混合單調系統為例，狀態量為[x1，x2]T，利用其增廣系統估算原系統響應分布，并觀察響應特征。

2 簡單電力系統模型分析

電力系統的數學模型可以統一描述為一般形式的微分-代數方程組。

式中：x對應描述電力系統動態特性的狀態變量；y對應電力系統運行參數的代數變量；d(·)和g(·)分別為微分函數和代數函數。

代數方程為隱式結構，難以直接看出y與x之間的聯系。下面針對電壓動態響應研究，結合一些假設，首先推導出2節點系統中代數方程的電壓顯式解，繼而應用混合單調理論分析電壓動態響應規律。

2.1 2節點系統

附錄A圖A3所示的2節點系統中，同步發電機不計阻尼繞組并忽略凸極效應，此時q軸同步電抗等于d軸暫態電抗，因此可用暫態電抗X′后的暫態電勢E′表示，負荷采用恒阻抗類型。系統參數設置如下：發電機容量SG=100 MVA，暫態電抗X′=0.25 p.u.，d軸同步電抗Xd=1.0 p.u.，慣性時間常數TJ=6 s，d軸開路暫態時間常數T′d0=5 s，外接電抗（包括變壓器和輸電線路的電抗）Xe=0.25 p.u.。

當潮流計算得到節點2的電壓為V2∠θ2、消耗功率為P2+jQ2后，計算負荷等值阻抗為：

式中：V2和θ2分別為節點2電壓的幅值與相位；RL和XL分別為等值的電阻與電抗；P2和Q2分別為節點2消耗的有功與無功功率。

繼而推出暫態過程中發電機機端電壓V?G為：

式中：V?1為節點1電壓相量；δ為發電機功角。

令XΣ=X′+Xe+XL，計算電壓幅值|VG|，有

式中：K1為由系統參數所確定的正數。

由于忽略了凸極效應，暫態電勢E′位于q軸，d軸電流Id與q軸電流Iq的表達式為：

若發電機配置了比例型勵磁電壓調節器，系統電壓動態的數學模型歸納如下。

式中：Efd為勵磁電壓；Vref為電壓調節內部參考值；KA為調節器放大系數；TA為調節器時間常數。

Vref由潮流數據確定，即

式中：Efd0為穩態勵磁電壓；VG0為穩態機端電壓。

式（11）具有結構特征，可視作由一個開環單調單輸入-單輸出系統和一條負反饋通路構成的閉環混合單調系統，相應數學模型改寫為：

依照式（3），將2節點系統繼續擴展成如下所示的動態特性更加明朗的增廣單調系統，有助于研究電壓動態響應特性。

由式（14）可知，通過在反饋通路交換信息，令最大狀態子系統獲得最小的負反饋量，最小狀態子系統獲得最大的負反饋量，從而保證增廣系統的時域響應始終能夠包絡原系統的電壓動態響應。值得注意的是，所交換的2個反饋量差異越大，所得包絡估計結果的保守程度越大，不同分解模式將直接影響反饋量差異，具體分析見文獻［12］。

2.2 穩定域估計

若增廣系統式（14）的一組頂點值滿足解有界的充分條件，那么從該組頂點出發的解軌跡不會運動到集合之外，也意味著被包絡的原系統解軌跡不會無限增大或減小，表明該區間是原系統實際穩定域的一個保守估計結果。

根據增廣系統解有界的充分條件，系統式（14）的不等式約束為：

由圖2可以看到，原系統從不同初值狀態出發的Efd出現了相互交錯，直接采用時域積分法分析需要列舉足夠多的參數組合才能確定時域上各階段的最大、最小值，不僅計算負擔大，還可能在多參數情況下出現組合爆炸問題。而借助增廣系統，利用原系統具有的混合單調性，僅需要針對2個區間頂點開展時域積分獲得解軌跡，即可獲得一個近似的雙邊估計，提高了分析效率。

圖2 2節點系統時域響應Fig.2 Time-domain response of 2-bus system

由于單調增廣系統提供的雙邊估計是有界的，所以從對應區間內任意一個狀態出發，2節點系統的軌跡均能逐漸運動至平衡點。因此，通過求解關于不確定區間頂點值的一組不等式代數方程，可估計出2節點系統的穩定域。

2.3 調節器放大系數的影響

觀察閉環混合單調系統的數學模型式（13），發現KA只作用于反饋通路，對應電壓調節器的負反饋調節機制。因此，在增廣系統式（14）中，KA越大，反饋通路中2個子系統所交換信息的差異越大，使得增廣系統更容易發散。研究發現在實際電力系統中，KA的提高會增加系統的負阻尼，導致低頻振蕩發生［15］，增大系統振蕩失步的概率［16］。

從數學模型上分析，整理式（15）得到：

對式（15）繼續變形，得到：

不同結構參數對K2/K1的影響如表1所示。由表1可以看出，外接電抗的減小、暫態電抗和d軸同步電抗的增大均有助于提高KA上限值。

表1 結構參數對K2/K1的影響Table 1 Influence of structural parameters on K2/K1

2.4 限幅環節的影響

在勵磁調節器的數學建模中，對應實際物理工程上存在的飽和特性、安全穩定約束或功能需求，部分環節的輸出幅值會受到限制。考慮帶有終端限幅［17］的比例型電壓調節器，結構如附錄A圖A4所示。系統數學模型更新為：

式中：Sat(·)為限幅函數；下標max和min分別表示輸出最大值和最小值。

由于限幅函數是單調的，因此仍可將系統式（18）視作由一個開環單調輸入-輸出系統和一條負反饋通路構成的閉環混合單調系統。相似地，得到所對應的增廣系統為：

限幅函數的加入，可減緩E′+與E′-的變化速率，使得反饋通路中2個子系統所交換信息的差異有所減小。圖3對比了加入限幅環節前后的電壓響應系統時域解曲線，可以看出限幅環節有利于減緩增廣系統解的發散，能夠降低估計結果的保守程度，提高估計精度。

圖3 勵磁限幅對系統響應的影響Fig.3 Influence of excitation limitation on system response

此外考慮電壓調節器配置限幅環節，增廣系統解有界的充分條件表示為：

對比約束式（15）與式（21），可知前者解集是后者解集的一個子集。所以限幅環節的加入，在相同參數下能夠擴大增廣系統的穩定域范圍，一定程度上改善原系統穩定性。

3 多機電力系統模型分析

在上述簡單系統的電壓響應特性分析中，混合單調分析方法揭示了電壓動態模型的結構特征，研究了不同控制環節或控制參數對電壓穩定的影響。下面討論其在多機系統模型中的分析應用。

3.1 簡化的電壓動態響應模型

針對電壓問題，若系統中發電機的功角和轉速波動相對較小，文獻［18］提供了一種簡化的多機電壓動態響應模型，并指出其中的混合單調性。通過將功角和轉速視作恒定值，基于Dommel-Sato迭代與矩陣冪級數方法，網絡方程得以獲得顯式解析解，即

進而可將多機電壓動態響應數學模型拆解成一個開環單調多輸入-多輸出系統和一條負反饋通路：

式中：EI為單位矩陣；K3=-EI-(Xd-X′d)KI為Metzler矩陣，其非對角元均非負。其余變量均為上文所提變量的多維向量，下同。

通過在反饋通路交換信息，可構造出對應的增廣系統來快速獲取原多機系統的雙邊響應估計，分析參數變動或狀態量初值變動對系統狀態軌跡的影響，相關結果參考文獻［18］，此處不再贅述。

結合增廣系統解有界的充分條件，可深化電力系統電壓動態特性研究。針對多機系統的穩定域估計，存在如下約束方程：

繼而推出關于KA的一個充分條件為：

在多機系統中，盡管|VG|具有關于E′q的顯式單調表達式，但這也是非線性映射，難以直接從式（26）求解出KA上界。但從式（26）可以看出，KA取值越大，該充分條件越難滿足。文獻［19］提出在短時間內或不嚴重擾動下，對具有齊次特性的|VG|進行一階泰勒展開以獲得線性關系式，實現快速計算，這在一定程度上是可以借鑒的。

此外，式（25）仍是一個便利的檢測條件，只需要把初始時刻的值代入并使得該式成立，則說明從該狀態點出發的解軌跡一定是有界穩定的。

3.2 考慮轉子角變化的系統分析

在多機系統中，考慮發電機間轉子角度差變化的影響，需要加入搖擺方程完善數學模型：

式中：δ為發電機轉子角；ω為發電機轉速；ωn為標稱轉速常數；PT為機械功率；Pe為電磁功率；D為阻尼系數。

式（27）表征的系統在特定條件下也具有混合單調性，可通過對應的增廣系統估計其動態響應。此時，增廣系統解存在以下關系：

式（28）右側不包含δ+與δ+，使得通過增廣系統獲得的轉子角上限值和下限值的差值在動態過程中不會減小。因此，對應的解有界充分條件也僅在平衡點滿足，其應用與拓展分析大大受限。

從上述討論可以看到，開環單調系統雅可比矩陣的對角元為負，是滿足增廣系統解有界的充分條件的前提，有利于保持原系統抗擾動能力。由E′q和Efd構成的電壓子系統具有簡單的結構特征與較好的穩定性能；而由δ和ω構成的功角子系統貼近耦合振子模型，可利用相應數學成果進行分析［20］。

4 算例分析

本章將在具體算例中應用混合單調分解技術與增廣系統解軌跡特征，分析電壓動態響應特性。

4.1 調節器時間常數的影響

圖2中，Efd的真實時域響應存在反向峰值。這是由于勵磁系統的TA小，滿足快速調節要求。在2節點系統中令TA分別取1.0、0.5、0.1 s，其他參數和初值不變，Efd的時域響應如圖4所示。可以看到，TA越小，峰值出現越快，幅度也越大；解曲線都是收斂的，且估計結果的保守程度隨著TA的減小有所改善。這是因為根據約束式（15），收斂域的估算與TA取值無關，包含TA→0的極限情況。

圖4 不同TA取值下的Efd時域響應Fig.4 Time-domain response of Efd with different values of TA

4.2 網絡拓撲變化后的電壓響應

當電網拓撲發生改變時，系統能否從變化前的穩定狀態過渡到新的穩定狀態值得關注。此時基于平衡點線性化的小干擾分析手段失效，而混合單調系統理論能夠提供有效信息，揭示交流系統電壓動態固有的魯棒性。

3機9節 點 系 統［21］的拓 撲 如 附 錄A圖A5所示，發電機配置比例型電壓調節器，令負荷A上的無功功率瞬時增加100 Mvar，系統會經歷動態調整過程。由于發電機轉子角和轉速變化很小，使用3.1節所述的簡化模型來分析電壓動態響應情況。對應

新的網絡拓撲，計算得到以下系數矩陣。

第i臺發電機的機端電壓幅值函數為：

式中：ci，mn=KX，im KX，in+KY，im KY，in；KX，im和KY，im分別對應KG第i行第m列元素的實部和虛部；ng為發電機總數；E′q，m和E′q，n分別為向量E′q中第m個和第n個元素。

根據式（29），可確定任意ci，mn＞0，因此機端電壓幅值函數具有單調性；同時式（30）表明K3是Metzler矩陣。綜合以上數值信息，確定式（24）所描述系統的雅可比矩陣存在如下所示的符號特性，進而說明電壓動態響應過程具有混合單調特性。

式中：sgn(·)為符號函數；符號+、-、0分別表示對應位置元素的偏導值非負、非正、為零。

在50機145節點系統［22］中，令母線120上的無功負荷增加500 Mvar。取故障后某一時刻的雅可比矩陣數值結果如圖5所示，其中正元素用紅色方塊表示，負元素用藍色方塊表示，零元素用白色用方塊表示。可見，系統雅可比矩陣呈現出顯著的符號特征與分塊結構特征，并且這樣的特征在故障后保持不變。

圖5 50機145節點系統雅可比矩陣示意圖Fig.5 Schematic diagram of Jacobian matrix in 50-machine 145-bus system

通過構造對應的增廣系統，可以估計Efd、E′q以及|VG|在包含不確定性下的響應，以及分析系統電壓動態收斂情況。在3機9節點系統中，令KA=1，TA=0.1 s，對應新的網絡拓撲，找到一組頂點值滿足增廣系統解有界的充分條件，即

已知負荷增大之前的系統狀態為：

式（34）表示的狀態值位于式（33）頂點所刻畫的區間內，根據增廣系統解有界的充分條件及結果，可知3機系統在經歷節點5負荷增加100 Mvar事件之后，能從原平衡點運動至新平衡點。以第2臺發電機為例，其具體響應如圖6所示。圖中虛線表示雙邊包絡解，實線表示原系統解。

圖6 第2臺發電機響應曲線Fig.6 Response curves of the 2nd generator

圖6中增廣系統提供的雙邊包絡解隨時間逐漸靠攏，提供原系統的穩定域信息。這不僅能用于分析加載、切載、擾動后的系統狀態軌跡與輸出響應分布情況，還可用來研究不確定性的影響。

5 結語

當系統調整引起的功角差變化不大時，電網的電壓動態可用一個降階模型描述，其具有清晰的結構特征與混合單調性質。借助開環單調動態系統與負反饋通路來分解-重構數學模型，可快速構造對應的增廣單調系統，從其提供的雙邊估計獲取原系統的響應特征。結合增廣系統解有界的充分條件，獲得一個粗略的穩定域用于電壓穩定分析。

本文提供了一個新的思路來理解電力系統狀態演變規律，基于符號特征來分析各部分的作用，對于揭示交流系統電壓穩定機理、掌握電壓動態固有的魯棒行為具有重要意義。此外，電壓動態系統還可視作由兩個單調子系統的負反饋連接，繼續分析不變集中漸近穩定點的存在性，相關論證正在進行，將于后續文章進行介紹。

目前的研究結果尚處于起步階段，后續研究將考慮功角變化的因素，從功角-電壓子系統交互的視角觀察電網動態響應特征，進一步揭示交流系統功角-電壓穩定的數學基礎。同時，關注非線性不等式方程組可行域的連通問題與對應的微分方程組解的存在性問題，完善數學層面上的分析。

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