電動汽車充電負荷概率分布的數值建模方法

張宇軒，郭 力，劉一欣，李相俊，尹晨旭

（1.智能電網教育部重點實驗室（天津大學），天津市 300072；2.新能源與儲能運行控制國家重點實驗室（中國電力科學研究院有限公司），北京市 100192；3.國網安徽省電力有限公司經濟技術研究院，安徽省合肥市 230000）

0 引言

國際可再生能源機構（IRENA）發布的《全球可再生能源展望》中預測，2050年全球二氧化碳排放量將降低至33 Gt，其中電動汽車將會貢獻23%的減排量［1］。隨著未來電動汽車的大規模普及，其充電功率在配電系統中所占比重逐漸增大，將給配電網的規劃和運行帶來新的挑戰［2-4］。如何高效、準確地計算電動汽車充電功率，對未來配電網規劃具有重要意義。

由于電動汽車的充電特性與車輛的出行特性、交通網絡的拓撲結構和流量水平聯系密切［5］，電動汽車充電負荷的建模需要綜合考慮車輛出行特性、城市路網結構、交通擁堵情況等因素［6-9］，存在很大的隨機性和不確定性。

近年來，部分學者從配電網與交通網耦合的角度開展了電動汽車充電負荷建模的相關研究，通過對交通路網結構［10］或地圖網格分區的［11］建模，描述路網中車輛的流動特性。文獻［12］通過停車生成率計算車輛充電的概率分布情況；文獻［13］基于起止點（OD）分析法構建了車路網一體化時空充電負荷預測模型；文獻［14］和文獻［15］則分別基于預先確定的多種模式出行鏈和出行目的轉移概率，構建了描述電動汽車出行不確定性的馬爾可夫隨機過程；文獻［16］考慮交通環境時變特性的車輛路徑規劃；文獻［17］基于多主體系統構建用戶充電地點決策的概率模型。此外，一些研究進一步考慮了不同充電決策［18］、交通情況和氣溫等因素［19］、用戶的有限理性［20］等對車輛耗能的影響。目前，基于車輛出行概率特性的電動汽車概率建模的研究中主要采用蒙特卡洛模擬或仿真方法進行求解［4］，存在以下兩大主要問題。

第一，傳統蒙特卡洛模擬方法通過對車輛的連續多次行程進行參數抽樣存在耦合誤差。為了降低大量隨機參數在計算中耦合誤差的影響，一些研究基于Naive Bayes模型的出行鏈生成模型［21］、k最近鄰（k-nearest neighbour，kNN）非參數學習算法［22］等獲取出行行為的隨機特征來預測車輛出行參數，得到大量在時間和空間上耦合的車輛出行樣本，在一定程度上減弱了耦合誤差的影響。然而，車輛多次出行計算中變量眾多，難以考慮所有變量間的耦合關系，隨著多次抽樣的疊加而產生較大的耦合誤差。

第二，傳統蒙特卡洛模擬方法計算速度慢，如須計算隨機概率的方差值則將進一步增大計算量。為此，部分學者開始著眼于構建可進行數值計算的概率模型。文獻［23］提出了整體荷電狀態（CSOC）的概念，從車輛集合的整體描述荷電狀態（SOC），以快速計算充電概率需求，解決了固定地點的充電負荷數值計算建模問題。文獻［24］則對車輛的停車、行車和充電3種狀態進行了狀態轉移建模，建立了電動汽車的充電數值計算概率模型。然而，文獻［23］和文獻［24］均未計及交通網絡的影響，無法真實反映充電負荷的時空特性。

針對上述問題，本文基于文獻［23］建立的CSOC概念，提出了一種電動汽車充電負荷概率數值計算建模方法。通過每個路網節點的CSOC直接確定車輛單次出行起始的SOC概率密度函數，避免了多次出行建模中存在的大量參數耦合問題。此外，基于單行程建模消除了多次行程建模中的條件概率，實現充電功率概率密度函數的數值計算，較傳統蒙特卡洛模擬過程可大幅提高電動汽車充電負荷隨機模型的計算效率。

1 模型框架

本文建模的主要目的是針對未來配電網規劃區域內的大規模電動汽車充電負荷開展概率評估。為了簡化分析，做出如下假設：①分析背景為城市環境，隨著車輛續航里程的增加，單次行程過程中電量不足的概率較低，本文通過SOC閾值充電方式保證了車輛在出行時電量足以完成所在城市的任何一次行程，因此不討論單次行程中缺電的情況，其中，SOC閾值充電模式是指車輛在SOC高于SOC閾值時不進行充電，低于SOC閾值時開始充電并直至充滿或中途停止的充電模式；②本文假定燃油車OD數據不影響算法對電動汽車求解的可行性，建模的數據來源于燃油車出行數據。

基于對車輛實際行駛過程的模擬方法在直接進行數值計算時會出現大量條件概率，車輛數增多后將導致計算量過大而無法求解。而多次行程可解耦為不同起始SOC值的多個單次行程的組合，若可以直接確定任意一次行程的起始SOC，則可以有效解決車輛出行特性上的條件概率計算量過大的問題。車輛單次行程建模中需要確定該行程的起始時刻、起始SOC，通過行程耗時耗能模型得到行程結束時刻與SOC，以此確定充電起始時刻和充電電量，進而得到一次行程的充電功率時序分布。而如何確定行程起始SOC值是單行程建模的最大問題。

基于以上分析，本文從同類型車輛整體的出行特性出發，以車輛的單次行程建模為基礎，提出了一種基于CSOC的電動汽車充電負荷概率建模方法。CSOC的概率密度函數是指一個電動汽車集合中所有電動汽車SOC所服從概率分布的概率密度函數。本文按照計算需要，根據電動汽車集合的行駛狀態又分為節點車輛集的CSOC（N-CSOC）和OD對車輛集的CSOC（OD-CSOC），分別表示一個路網節點中所有停放車輛構成集合的CSOC，以及同一時刻出發的同一OD行程中所有車輛構成集合的CSOC。

其中，N-CSOC主要用于確定OD對在行程起始時刻的OD-CSOC概率密度函數，這也是實現單行程建模的關鍵。由于從整體上看，節點車輛集中任何一輛車都有可能離開節點，假定車輛駛離起點是隨機的，則一個OD對車輛集的出行起始SOC概率密度函數等于出發時刻起點的N-CSOC概率密度函數。建立OD-CSOC的目的則是確定一個OD對中的車輛集在行程結束時的CSOC概率密度函數，用于更新車輛目的地的N-CSOC概率密度函數和計算OD對中車輛的充電負荷概率分布。

本文建模的整體思路與關鍵變量如圖1所示，圖中方框表示本文模型部分關鍵中間變量，藍色箭頭代表變量的傳遞和計算過程，紅色箭頭為OD矩陣參與運算的過程。在車輛單次行程建模中，通過N-CSOC確定行程的起始SOC概率密度函數，通過OD-CSOC確定行程結束后的SOC概率密度函數并用于更新N-CSOC。單次行程的概率可通過相應OD對的概率確定，進而可得到一個OD出行的充電功率曲線和其發生的概率；再以OD對概率為權重，對不同OD對的充電功率進行加權，得到任意一次行程的充電功率時空概率分布，并由大數定律擴展至任意次行程的充電功率概率分布。此外，模型通過迭代路段車輛數分布情況考慮交通分布對車輛出行的影響，在一次迭代中，車輛通過上次迭代的交通分布情況規劃出行路徑，得到新的道路車輛分布情況并進行下一次迭代，直至迭代收斂。

在圖1中，同一個節點的N-CSOC概率密度函數會隨時間變化，受以下3個方面影響：①車輛離開；②車輛抵達；③車輛充電。其中車輛離開不會直接導致N-CSOC概率密度函數發生變化，但是會引起節點車輛集的車輛數減少，結合其他兩方面的影響，間接導致N-CSOC概率密度函數的變化。車輛抵達會引入不同于N-CSOC概率密度函數的ODCSOC概率密度函數，抵達車輛的充電過程會導致節點停放車輛集的CSOC直接變化。限于篇幅，模型的整體結構如附錄A圖A1所示。

圖1 建模思路及關鍵變量結構圖Fig.1 Sructure diagram of modeling idea and key variables

2 充電負荷時空概率分布模型

本文建模中主要考慮私家車、出租車等出行隨機性較強的車輛類型，公交車等行程固定的車輛可以直接通過時間表建模，不在考慮范圍之內。本文以OD分析為基礎描述車輛的出行概率特性，統計出行起止點和車輛出行的起始時刻數據，建立OD矩陣。在后續建模中，下標i表示OD對編號，下標j、l表示路網節點編 號。Ai，t表示 在t時 刻 出 行 的OD對i，并定義Si和Di分別為OD對i的起點和終點的節點編號。由于不同類型車輛的行程特性相互獨立，OD矩陣也需要分別進行統計［25］。

2.1 行程耗時耗能模型

2.1.1 行程耗時概率模型

本節建模的主要目的是獲取車輛出行路徑和車輛行程時間。通過對路段車輛數分布的迭代計算，確定給定交通分布下車輛的出行路徑，由BPR（Bureau of Public Roads）模型［18］計算車輛行程時間和更新路段車輛數分布。

1）路徑決策

本文模型中車輛出行均選擇最短出行時間方法，采用Dijkstra算法由路段行駛時間鄰接矩陣搜索路 徑。定 義Ai，t的 出 行 路 徑 為ri，t。

2）OD對中車輛數量概率密度函數

3）路段車輛數概率密度函數

迭代收斂條件為迭代誤差εs滿足以下條件：

4）路徑行程時間概率密度函數

本文采用描述道路流量與車流速度關系的BPR模型計算車流的行駛速度。由以上分析可知路段車輛數為正態分布，則路段行駛時間tp可近似為對數正態分布，而實際中tp不可能為無窮大，需要為其設置上限。定義tp的概率密度函數fP(tp)如下：

2.1 .2行程耗能模型

為簡化說明，本文中車輛路段消耗能量僅與車輛的行駛路程相關，路徑r的耗能計算如式（5）所示。

式中：Bc為車輛電池容量；Ep為車輛單位行駛里程的耗電量；L(r)為路徑r的長度；sc(r)為車輛以路徑r為行程時的SOC總消耗值。

2.2 CSOC概率模型

2.2.1 CSOC的概率密度函數

本文使用CSOC概念的主要目標是為單次行程提供起始SOC概率密度函數，并將其擴展至NCSOC和OD-CSOC兩部分，同時給出具體交通網絡結構中CSOC的任意類型概率密度函數計算方法。由于不同車輛CSOC計算方式完全一致，為方便理解，以單一出行特性類型車輛為例進行說明。

1）N-CSOC概率密度函數

N-CSOC的建立主要用于確定不同時刻、不同地點出發的車輛集合起始CSOC概率密度函數。其概率密度函數會受到車輛離開、車輛抵達、車輛充電三方面的影響。N-CSOC概率密度函數由t時刻到t+1時刻的時變過程運算結構示意圖如附錄A圖A2所示。由圖A2可知，為了計算t+1時刻的NCSOC概率密度函數，需要得到t時刻抵達/離開該節點的OD-CSOC概率密度函數，同時確定充電過程平移算子。其邏輯示意圖見附錄A圖A3。

2）OD-CSOC概率密度函數

OD-CSOC的主要目標是確定不同時刻抵達不同目的地車輛的SOC概率密度函數。考慮到實際車輛行駛中SOC會逐漸下降，與之對應的ODCSOC概率密度也會隨之變化，具體體現為其概率密度函數曲線的平移過程（函數曲線橫坐標為SOC值，縱坐標為概率值），詳細解釋見附錄A。

2.2.2 OD-CSOC概率密度函數的計算方法

本節計算主要用于確定駛離和抵達節點的車輛集的OD-CSOC概率密度函數。以下對駛離節點的車輛數量、OD對行程起始時刻的OD-CSOC的概率密度函數、抵達目的地的車輛數量、OD對行程結束時刻的OD-CSOC概率密度函數4個方面的計算分別進行說明。

1）駛離節點的車輛數量

2）OD對行程起始時刻的OD-CSOC概率密度函數

3）抵達目的地的車輛數量

4）OD對行程結束時刻的OD-CSOC概率密度函數

行程中的能量消耗對應于OD-CSOC概率密度函數曲線的向左平移，詳細解釋見附錄A。定義函數FCL(·)為向左平移函數，具體表達式見附錄B。

2.2.3 N-CSOC概率密度函數的計算方法

N-CSOC的概率密度函數受到車輛離開、車輛抵達、車輛充電3個方面的影響。其中車輛抵達、離開的影響采用概率密度函數的加權處理計算。車輛充電的影響則通過正在充電的車輛集CSOC概率密度函數的過程實現，具體平移說明見附錄A。

2.2.3.1 節點停放車輛數量概率密度函數

式中：ta為抵達時刻。

2.2.3.2 N-CSOC概率密度函數

1）車輛抵達、離開的影響節點j在t時刻，車輛抵達和離開兩方面影響下的N-CSOC概率密度函數分別如式（15）和式（16）所示，推導過程見附錄B。

2）充電過程中N-CSOC概率密度函數的計算不同充電模式會對充電功率的時空分布產生不同的影響，與充電過程對應的N-CSOC概率密度函數平移變化也會有所差異。本文討論2種充電模式：①目的地充電模式（車輛抵達目的地后便開始充電，直至充滿或車輛終止充電離開）；②SOC閾值充電模式（車輛抵達目的地后若SOC值低于SOC閾值，則開始充電直至充滿或車輛終止充電離開）。

假定充電過程中充電功率保持不變，則車輛充電過程中單位時間電池SOC增量sr滿足：

式中：Pc為充電功率，不同路網節點的sr可通過節點j充電設施的額定充電功率Pc，j進行區分；Δt為時間間隔。

充電過程為車輛的SOC增長過程，表現為NCSOC概率密度曲線的向右平移，詳細說明見附錄A。本文采用疊加平移算子的方法平移概率密度曲線，平移算子定義為一個求和算子，通過與前一時刻的SOC概率密度函數求和，得到下一時刻平移后的概率密度，具體數學定義見附錄B。

通過平移算子計算充電過程中的N-CSOC概率密度函數變化如式（21）所示。

綜合式（15）、式（16）、式（20），N-CSOC概率密度函數在一個時段的變化計算方法如下：

2.3 充電過程模型

1）充電時長tc與充電起始SOC值ss的關系如下：

3）指定次數行程的充電功率時空分布

2.4 參數的修正

2.4.1 節點N-CSOC概率密度函數的修正

實際中車輛首次出行的時刻對于其初始SOC值沒有影響，然而N-CSOC概率密度函數是時變的，不同時間出行的車輛起始SOC概率密度函數存在差異，直接以該N-CSOC概率密度函數確定未出行車輛的起始SOC會引起計算誤差，因而需要針對上述問題對模型進行修正。為此依據車輛出行狀態將路網節點下的車輛劃分為3類：還未出行的車輛（First類型）、已經出行并將繼續出行的車輛（Travel類型）和已經結束所有行程的車輛（Final類型）。一次行程中僅有First和Travel類型的車輛可以駛離節點，概率分別為PBR和E-PBR（E為單位矩陣），而抵達目的地Travel和Final類型的概率分別為E-PFR和PFR。其中，PBR、PFR通過統計數據確定。t時 刻 離 開 節 點j的First類 型 的 概 率 為PBR，i，t，t時 刻抵達節點j的Final類 型的概率 為PFR，i，t。

2.4.2 車輛提前終止充電的修正

考慮到隨著時間增長，正在充電的車輛也可能終止充電而離開。為了補償這部分中途離開的車輛，引入補償系數cj，t，其物理意義為t時刻節點j充電功率中，由于車輛離開而剩余的比例。經過簡化后的計算式如式（30）所示，具體簡化見附錄B。

式中：x為求積變量，無物理意義。

3 算例分析

統計NHTS 2009 data數據［25］并結合具體路網信息生成OD矩陣，其中包含超過26萬輛車的逾83萬次出行數據，平均每輛車出行3.151 6次。

算例中模擬5 000輛電動汽車和95 000輛傳統燃油汽車的出行，設定一天中的車輛出行次數共31.516萬次，各路段車輛限速為40 km/h。同類型出行特性車輛中，本算例中考慮5個子類的不同耗能特性車輛，其電池容量、耗電情況、SOC閾值和所占比例見表1。車輛充滿時電池SOC為95%。

表1 不同耗能特性車輛參數Table 1 Vehicle parameters with different energy consumption characteristics

圖2 路網結構圖Fig.2 Structure diagram of road network

3.1 出行特性的參數耦合情況

基于車輛多次出行的模型中存在大量耦合參數，這些耦合誤差會隨著時間的增長而積累，導致車輛行車特性與原始統計數據出現偏差。選取車輛的節點出行概率和車輛在節點的停駐情況作為對比指標，比較基于單次出行的本文方法與基于多次出行的對照方法的計算結果，對比結果如圖3所示，其中，圖3（a）和（b）中3幅圖從上到下分別表示節點10、節點9、節點5的概率特性。

圖3 車輛出行、停駐概率值對比Fig.3 Comparison between probabilities of travelling and parking for vehicles

所提基于單次出行的建模方法在節點出行概率計算結果與原始數據的概率特性上完全一致。在車輛停駐情況方面，由于車輛行車時間的差異，有微小誤差，但整體高度重合。對照方法由于多次出行而造成的參數耦合誤差導致計算結果偏差較大。表2為圖3對比結果的量化指標。對比結果表明，所提方法可以有效消除大量耦合參數建模不充分的影響，更精準地反映原始統計數據中的車輛出行特性。

表2 不同模型出行特性誤差對比Table 2 Error comparison of travelling characteristics of different models

穩態的交通概率迭代計算結果見附錄C。

3.2 充電功率及CSOC概率密度函數的變化情況

目的地充電模式的充電計算結果如圖4所示，圖4（a）至（c）中，位置①為一天起始SOC概率分布，由于不同耗能特性車輛的電池容量和單位路徑消耗能量存在差異，因此該時刻峰值相對分散；位置②反映了早高峰抵達目的地車輛的SOC處于相對較低的水平；位置③對應于早高峰后大量車輛集中抵達目的地后開始充電的過程；位置④表明在晚高峰到來時，來自不同節點的車輛OD-CSOC分布不均勻，且新抵達車輛中較低的SOC值也降低了N-CSOC中高SOC值的概率；位置⑤為晚高峰后大量車輛完成最終行程返回充電，高SOC值概率逐漸逼近于1。圖4整體反映了以目的地充電方式充電時，節點上停駐的車輛大部分保持高SOC值的狀態，而抵達目的地的車流會引入較低的SOC值，降低該節點的高SOC值的概率。隨著時間增長，充電過程的進行使所有車輛都逐漸趨向于充滿狀態。

圖4 節點10的CSOC概率密度曲面圖Fig.4 Surface diagram of CSOC probability density for node 10

SOC閾值充電模式計算結果見附錄C。

本文數值計算方法與對照方法在3種不同類型區域且部分節點充電功率為95%置信區間下的對比結果如圖5所示，其中，對照方法通過對多次蒙特卡洛模擬結果統計得到估計概率分布的95%置信區間。

圖5 本文方法與對照方法結果在95%置信區間的對比圖Fig.5 Comparison diagram of proposed method and reference method results at 95% confidence interval

由圖5可知，本文所提方法和對照方法的計算結果在95%置信區間上與期望值結果均十分相近，其中95%置信區間重合度為95.335%，期望值相對誤差為3.67%。考慮到傳統基于多行程的蒙特卡洛模擬存在耦合誤差和收斂誤差等問題，計算結果存在一定的不確定性，因此計算結果對比僅作為合理性檢驗。結果表明，本文所提方法在計算精度上可以滿足實際分析計算需要。由于本文所提充電負荷建模的主要目的為評估配電網設施的冗余度，支撐未來配電網規劃，對峰值功率精度的要求高于其他時段，因此可以認為結果具有較強的可信度。

3.3 計算耗時

對照方法設定期望值和方差的迭代相對誤差精度分別為1%和5%。對照方法實現收斂需要蒙特卡洛迭代122次，耗時280 956 s，約78 h。本文方法無須記錄、保存和更新所有車輛的實時狀態信息，全部過程耗時297 s，僅為對照方法的0.10%。

4 結語

本文提出了電動汽車充電負荷時空概率分布模型，消除了多行程建模中的變量耦合問題，計算結果包含具體的概率密度函數，在保證精度的前提下大幅度提高了計算速度。

所提方法通過車輛出行的統計數據進行負荷建模，可以反映不同地理位置、不同類型區域下采用不同充電策略的充電功率分布情況，用以估計配電區域內充電功率時序分布。隨著未來電動汽車滲透率的逐步提高，所提方法可以快速高效地確定多種類型場景下的充電負荷時空概率分布，對于配電網設施的布局和規劃具有重要意義。

值得注意的是，本文所提方法主要用于評估規劃區域內的電動汽車充電需求。目前研究中還未考慮電動汽車需求響應等智能充電策略，不同智能充電策略下數值計算概率模型還有待進一步研究。

未來的研究中，在所提數值計算建模框架的基礎上，將對大規模電動汽車充電負荷接入的影響進行評估，分析不同車輛滲透率、不同車輛類型結構等對配電網運行安全性和經濟性的影響。在此基礎上，結合實時交通信息開展智能充電策略下的充電負荷快速建模方法及配電網協調優化方法的研究。

附錄見本刊網絡版（http：//www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx），掃英文摘要后二維碼可以閱讀網絡全文。