從符號表征入手

尹力 郭修瑾

摘要：培養(yǎng)學(xué)生的符號意識是一項系統(tǒng)工程，教師要幫助學(xué)生感悟符號表征可以讓數(shù)學(xué)表達(dá)更簡潔、讓數(shù)學(xué)思維更簡化、讓數(shù)學(xué)結(jié)論更一般化等價值，明確符號表征的時機(jī)有理解概念時、表達(dá)規(guī)律時、解決問題時等，經(jīng)歷從通俗的自然語言到規(guī)范的統(tǒng)一語言的符號表征過程。

關(guān)鍵詞：符號表征;符號意識;數(shù)學(xué)表達(dá);數(shù)學(xué)思維

著名數(shù)學(xué)家羅素曾說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也將“符號意識”列為十大核心概念之一，并指出：“建立符號意識有助于學(xué)生理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。”培養(yǎng)學(xué)生的符號意識是一項系統(tǒng)工程，符號表征是一個重要著力點。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可幫助學(xué)生感悟符號表征的價值，明確符號表征的時機(jī)，經(jīng)歷符號表征的過程。

一、感悟符號表征的價值

培養(yǎng)符號意識的首要任務(wù)是啟發(fā)學(xué)生對符號建立意義認(rèn)同，使學(xué)生感受到符號的價值，從而能夠自覺運用符號表達(dá)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教育家豪森指出：“沒有必要引入任何符號或縮寫，除非學(xué)生自己已經(jīng)深深感到了這樣做的必要性，以至于他們自己提出這方面的建議。或者至少，當(dāng)教師提供給他們時，他們能夠充分體會到它的優(yōu)越性。”一般而言，符號表征具有如下價值：

（一）讓數(shù)學(xué)表達(dá)更簡潔

一方面，人們選擇或創(chuàng)造一些形式非常簡潔的符號表示數(shù)學(xué)內(nèi)容，將這些符號根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)則組合獲得的符號式也是簡潔的。比如，乘法分配律可以概括為：一個數(shù)乘以兩個數(shù)的和，可以用這個數(shù)分別和這兩個加數(shù)相乘，再把它們的積相加，結(jié)果不變。用符號表征為：（a+b）×c=a×c+b×c。顯然，直觀上后者比前者看起來更方便，人們在掌握各符號意義的基礎(chǔ)上，解讀符號表達(dá)式也更加快速。

另一方面，通過數(shù)學(xué)抽象，我們可以舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的物理屬性，只保留數(shù)與形的特點，這也是符號表征更加簡潔的重要原因。比如，要求學(xué)生表示圖1所蘊含的規(guī)律，學(xué)生有這樣幾種表達(dá)方式：從“畫圖并涂色表示”（如圖2）到“用漢字表示顏色”（如圖3）再到“用簡潔圖形表示”（如圖4），學(xué)生逐漸認(rèn)識到“是什么物體”或“是什么顏色”與排列的規(guī)律無關(guān)，抽象概括了周期規(guī)律的本質(zhì)特點，最終發(fā)展為用最簡潔的符號表示周期規(guī)律。

（二）讓數(shù)學(xué)思維更簡化

數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說：“符號的巧妙和符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節(jié)約，它以驚人的形式節(jié)省了思維。”也就是說，形式簡潔的符號不僅看起來具有美感，對人們思考數(shù)學(xué)也有促進(jìn)作用。

符號表征讓思維簡化的原因在于，符號具有壓縮信息的功能，其中蘊含大量信息，從而有利于人們快速獲取信息、有效分析與解決問題。

比如，猜數(shù)游戲：“心里想一個兩位數(shù)，將數(shù)的十位數(shù)字乘5，加7，再2倍之，個位數(shù)字不變，告訴我最后結(jié)果，我就能知道你心里想的那個數(shù)。”不借助任何符號，學(xué)生基本無從思考。而有了符號，問題就變得非常簡單，兩位數(shù)可以用10a+b表示，根據(jù)問題中的運算得2（5a+7）+b=（10a+b）+14，可見原數(shù)就是用結(jié)果減去14得到的差。

（三）讓數(shù)學(xué)結(jié)論更一般化

符號更重要的價值在于符號能參與運算和推理過程，從而使獲得的結(jié)論具有一般性。理解符號表示任意數(shù)，學(xué)生才能根據(jù)數(shù)量關(guān)系用符號建立代數(shù)式，表示數(shù)學(xué)公式、運算律和數(shù)學(xué)模型等，從而一般化地表示數(shù)學(xué)。

實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生習(xí)慣將符號或字母看作某個未知數(shù)，一方面是受認(rèn)知水平的限制，另一方面是學(xué)習(xí)中缺少恰當(dāng)?shù)膯栴}情境來激發(fā)學(xué)生運用符號表示一般數(shù)的內(nèi)需。因為學(xué)生接觸的都是具體問題，利用具體數(shù)字通過運算推理解決問題后，學(xué)生不會再深入思考，“符號表示數(shù)”的行為便無從產(chǎn)生。所以，教師要善于將具體問題拓展為一般問題，驅(qū)動學(xué)生將具體數(shù)類推為任意數(shù)。

比如，“把25乘2，再加上2，把結(jié)果乘5，再減10，再除以10，結(jié)果得到什么數(shù)？再換一個數(shù)試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？”顯然，就該道題而言，學(xué)生只需要舉幾個數(shù)算一算就能輕松解決，無須符號表示。而將問題拓展為“任意寫一個數(shù)，把這個數(shù)乘2，再加上2，把結(jié)果乘5，再減10，再除以10，結(jié)果得到什么數(shù)？再換一個數(shù)試試，你發(fā)現(xiàn)了什么，你能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘嗎？”教師便可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考：①我們還可以選哪些數(shù)去計算？②這樣的數(shù)多嗎？怎么將所有的數(shù)都表示出來？問題①主要讓學(xué)生體會可選的數(shù)有無數(shù)個，問題②則激發(fā)學(xué)生用符號概括所有數(shù)，使得到的數(shù)學(xué)結(jié)論一般化。

二、明確符號表征的時機(jī)

符號意識是一種主動使用符號的心理傾向，需要在廣泛的運用中養(yǎng)成。因而，教師需抓住并讓學(xué)生明確可以進(jìn)行符號表征的時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生用符號表示數(shù)學(xué)內(nèi)容。

（一）理解概念時

概念是抽象的，小學(xué)數(shù)學(xué)概念一般借助文字語言以描述性方式表達(dá)，不易理解。將文字概念轉(zhuǎn)化為符號表征，借助圖形或字母等符號簡潔表示概念，能使抽象的概念變得形象直觀，便于學(xué)生理解與記憶。

比如，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材指出：“2、3、5這幾個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。6、8、9這幾個數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)。”教學(xué)時，教師可以創(chuàng)設(shè)拼長方形的活動，將上述概念轉(zhuǎn)化為符號表征。“用若干面積為1的正方形拼長方形，面積為5的長方形有幾種拼法？面積為6的呢？”這引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：質(zhì)數(shù)只能拼出一種，合數(shù)能拼出兩種及以上。抽象的概念由此被賦予了形象直觀的符號意義。

（二）表達(dá)規(guī)律時

數(shù)學(xué)規(guī)律概括了一類問題中普遍存在的數(shù)的變化特點。掌握和運用數(shù)學(xué)規(guī)律，能減輕思維負(fù)擔(dān)，提高解決問題的效率。數(shù)學(xué)規(guī)律具有概括性和普適性，往往需要借助符號表達(dá)才能清晰體現(xiàn)出這一特點。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的運算律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律等均屬于數(shù)學(xué)規(guī)律，教師一般會引導(dǎo)學(xué)生用符號表示，這是培養(yǎng)學(xué)生符號意識的好機(jī)會。但遇到非教材內(nèi)容時，教師容易簡單處理，錯失培養(yǎng)學(xué)生符號意識的契機(jī)。

比如，在圖5中任意框出“十字架”形的5個數(shù)，說出5個數(shù)的和與中間的數(shù)有什么關(guān)系，我們不難通過舉例解決問題。但若是引導(dǎo)學(xué)生深入思考，“框出其他5個數(shù)是不是也有這樣的規(guī)律”“是不是框出任意5個數(shù)都有這樣的規(guī)律”等，就能激發(fā)學(xué)生進(jìn)行符號表征的內(nèi)需。在這些問題的驅(qū)動下，學(xué)生能夠意識到僅舉一個或幾個例子是不夠的，需要想辦法表示所有的情況，即用a表示中間數(shù)，用“a-5”“a+5”“a-1”“a+1”分別表示上下左右四個數(shù)，5個數(shù)相加的和為5a。

（三）解決問題時

解決問題與符號意識密切相關(guān)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生“四能”。某種程度來說，“提出問題”是用符號抽象和表達(dá)問題，“分析問題”要借助符號運算和推理，“解決問題”更是要通過符號建立數(shù)學(xué)模型，形成解決一類問題的一般方法。

比如，對于“搭1個正方形需要4根小棒，搭2個正方形需要幾根小棒？搭3個正方形呢？搭100個這樣的正方形呢？”這一問題，搭2個、3個正方形時，學(xué)生可以用畫一畫、數(shù)一數(shù)解決問題，但搭100個時，學(xué)生就需要探索正方形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系解決問題。顯然，這樣的問題無窮無盡，所以要啟發(fā)學(xué)生用符號表示正方形個數(shù)與小棒根數(shù)，從而一般化地解決問題。

總之，遇到需要簡潔表示或一般化表達(dá)數(shù)學(xué)的情況，都可以引入符號，讓學(xué)生結(jié)合當(dāng)下的具體情境，理解運用符號表征的緣由和符號含義，促使學(xué)生今后遇到類似情況時自覺運用符號。

三、經(jīng)歷符號表征的過程

符號意識培養(yǎng)的重要手段是帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用符號表征的過程。我們可引導(dǎo)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義的基礎(chǔ)上，依次用“通俗的自然語言”“簡潔的個體語言”“規(guī)范的統(tǒng)一語言”進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，有序經(jīng)歷用符號表征的過程。

（一）用自然語言通俗表達(dá)

教師需要創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，在活動中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成內(nèi)部語言。以此為基礎(chǔ)，教師驅(qū)動學(xué)生出聲表達(dá)所建構(gòu)的數(shù)學(xué)意義。該階段的表達(dá)，學(xué)生主要借助自然語言（文字）進(jìn)行，教師主要的關(guān)注點是學(xué)生是否形成了正確的理解。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時，教師先讓學(xué)生列式解決圖6中的問題，學(xué)生將兩種方法列成等式（6+4）×24=6×24+4×24。然后，讓學(xué)生比一比，尋找等號兩邊算式的聯(lián)系。接著，讓學(xué)生寫幾組這樣的算式，算一算是否相等。最后，讓學(xué)生觀察這幾組算式，得出發(fā)現(xiàn)。這最后一步就是引導(dǎo)學(xué)生用自然語言表達(dá)乘法分配律。值得注意的是，在表達(dá)規(guī)律前，學(xué)生要經(jīng)歷理解規(guī)律、建構(gòu)意義的過程，即經(jīng)歷前面的步驟，這是不可或缺的認(rèn)知過程。

（二）用個體語言簡潔表達(dá)

在學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)意義，能用自然語言表達(dá)的基礎(chǔ)上，教師要激發(fā)其簡潔表達(dá)的內(nèi)需，驅(qū)動學(xué)生借助漢字、圖形、字母等符號簡化自然語言。顯然，該階段學(xué)生會出現(xiàn)多樣化的表達(dá)，是個體相對簡潔的表示，其重要性不言而喻。正如史寧中教授指出的，“應(yīng)鼓勵學(xué)生用自己獨特的方式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，這是發(fā)展學(xué)生符號意識的決定性因素”。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時，在學(xué)生已經(jīng)會用自然語言表達(dá)規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考：符合這一規(guī)律的算式多嗎？能寫得完嗎？能不能用一道簡潔的算式將符合規(guī)律的所有算式都包括進(jìn)去。實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能想出用含有文字、圖形、字母等符號的算式，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，來表達(dá)規(guī)律。但不難預(yù)見，多樣化表示又會帶來交流的不便，需要進(jìn)一步改進(jìn)表達(dá)方式。

（三）用統(tǒng)一語言規(guī)范表達(dá)

教師需要在個體多樣化表達(dá)的基礎(chǔ)上激發(fā)統(tǒng)一表達(dá)的內(nèi)需，再引出規(guī)范的符號表達(dá)，幫助學(xué)生理解意義。該過程也可以看作數(shù)學(xué)表達(dá)從多樣化到優(yōu)化的發(fā)展。

比如，教學(xué)“乘法分配律”時，在學(xué)生的多樣化表達(dá)基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考：大家想出的方法看起來不一樣，但其實都是表示乘法分配律，為了交流更加方便，我們將規(guī)律統(tǒng)一表示為（a+b）×c=a×c+b×c。

參考文獻(xiàn)：

[1] 邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2014.

[2] 朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬.“符號意識”研究：要素、特征與策略[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2017（4）.

[3] 朱立明，馬云鵬.義務(wù)教育階段學(xué)生符號意識發(fā)展水平的實證研究[J].課程·教材·教法，2018（3）.

[4] 李艷琴，宋乃慶.小學(xué)低段數(shù)學(xué)符號意識測評指標(biāo)體系的初步構(gòu)建[J].教育學(xué)報，2016（4）.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高段教學(xué)實施數(shù)學(xué)抽象研究”（編號：Cb/2020/02/63）的階段性研究成果。