五階線性混沌系統(tǒng)在圖像加密中的應用

曾逸鳳，徐兵，黃選紅

摘要：構建在每一維空間能夠擴展3個渦卷的5階線性系統(tǒng)，針對其動力學特性，在Matlab中對該系統(tǒng)的對稱性、李亞普諾夫系數(shù)等展開分析。所需混沌序列即由該系統(tǒng)產(chǎn)生，應用于數(shù)字圖像加密中，獲得一種新的圖像加密方法。

關鍵詞：多渦卷;5階線性系統(tǒng);混沌;安全性;圖像加密

中圖分類號：TP18文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）21-0103-02

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

圖像作為常用的信息載體，各個方面都有廣泛的應用，尤其是在一些安全系數(shù)需求較高的一些領域，對保密性有非常高的要求。圖像信息的安全是現(xiàn)在及未來長期發(fā)展中必須重視并且研究的問題，圖像加密算法的研究是非常必要的[1]。

本文引入分段線性相關函數(shù)，構造一個新的五階線性可控多渦卷混沌系統(tǒng)，并將其與“置亂+擴散”方法相結合，以獲得較為優(yōu)良的數(shù)字圖像加密效果。

1 一種新的多渦卷混沌系統(tǒng)的構建

為保證構建系統(tǒng)的唯一平衡點屬于指標2的鞍焦平衡點[2]，本文構建了一個雅可比矩陣為滿秩的5階線性系統(tǒng)，并基于此線性系統(tǒng)，引入分段線性函數(shù)構建多渦卷系統(tǒng)：

[xyzmn=? 0? 0? 0? 0-5? ?1? ?0? ?0? ?0-20? ?0? ?1? ?0? ?0-20? ?0? ?0? ?1? ?0-20? 0? 0? 0? 1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）=WG?X=WG，]（1）

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?m?m+?n?n=-1]? ? ? ? ? ? ?（2）

由上式（2）所示，因為[?V=-1]，可以得出系統(tǒng)（1）是耗散且以指數(shù)形式收斂的，其運動軌跡會穩(wěn)固在一個吸引子上，這說明混沌吸引子是存在的[3]。

為了求出平衡點，令[X=0，即：]

[00000=? 0? 0? 0? 0-5? ?1? ?0? ?0? ?0-20? ?0? ?1? ?0? ?0-20? ?0? ?0? ?1? ?0-20? 0? 0? 0? 1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）]? ? ? ?（3）

為了分析簡便，選擇階躍函數(shù)構建分段函數(shù)[gi（ai）]：

[gi（ai）=sgn（ai-1）+sgn（ai+1）.]? ? ? ? ? ? ? （4）

代入式（4），可以求得系統(tǒng)（1）的指標2的鞍焦平衡點，分別為[xEi=0.0208+4.]

[3577i，yEi=0.0208-4.3577i，][zEi=-0.3608+0.8323i，][mEi=-0.3608-0.8323i，nEi]

[=-0.3200，均位于（-2， 0）或（0， 2）之中.]

仿真得該系統(tǒng)相位圖，如圖1所示。

可看出該系統(tǒng)是中心對稱的，有利于擴展多渦卷吸引子。

針對系統(tǒng)（1），通過選擇合適的初值，基于Euler法和QR分解法計算出五個李亞普諾夫指數(shù)如下：

[L1=0.1150，L2=0.1032，L3=-0.3080，L4=-0.3596，L5=-0.3558，]

[因為L1>0，L2>0，]由此可見，該系統(tǒng)是一個超混沌系統(tǒng)[4]。

計算系統(tǒng)（1）的維數(shù)，如下所示：

[DL=3+L1+L2+L3L4=2.7503]? ? ? ? ? ? （5）

該李亞普諾夫維數(shù)是分數(shù)維數(shù)，可推出系統(tǒng)（1）為混沌系統(tǒng)。以上是關于該系統(tǒng)的相關動力學數(shù)據(jù)分析。

2多渦卷混沌系統(tǒng)在數(shù)字圖像加密中的應用

（1）圖像加密原理

混沌具有很好的不可提前進行預測的特性，同時也較容易控制，便于復制[5]，使得混沌系統(tǒng)能良好應用于圖像加密中。

利用本文系統(tǒng)構造的五階線性可控多渦卷混沌系統(tǒng)，應用于數(shù)字圖像加密的原理流程圖如圖2所示。

首先錄入圖像參數(shù)值和初始值，利用混沌系統(tǒng)進行迭代產(chǎn)生所需的矩陣K1、K2、K3以及相應混沌序列。再對待加密圖像進行行置亂和列置亂。為保證算法有效性，循環(huán)重復該操作。最后進行異或（XOR）運算，即可得到相應加密圖像。

（2）圖像解密原理

解密過程是加密過程的逆運算。同理讀入待解密的圖像，錄入相應的參數(shù)值和初始值，以得到相應的密鑰矩陣。再對加密圖像進行像素值置換還原，并截取混沌序列，依照循環(huán)分別還原列置亂和行置亂，最終得到解密圖像。