利用錯誤資源提升初中生數學解題素養的有效途徑

【摘 要】《義務教育數學課程標準》指出，在數學教學活動中，“錯誤”往往是學生在學習過程中，反映在各方面，出現違反教學結論或數學方法的現象。在數學教學中，學生的錯誤往往貫穿整個教學過程，教師若能將學生的錯誤當成一種教學資源，對其加以巧妙利用，引領學生探究，那么課堂教學就會因“錯誤”而精彩。

【關鍵詞】初中數學;錯誤資源;解題素養

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0171-02

在初中數學教學中，學生出現解題錯誤是一種常見現象，教師要充分利用這種錯誤資源，使學生的錯誤“來源于學生，服務于學生”，成為提高學生學習效率的重要資源。以下是筆者在教學中巧用錯誤資源，提升學生解題素養的實踐與探索。

學生在解題中常出現的錯誤有以下四種：①見到題目無從下手，感覺對這個知識很陌生，這種為知識性錯誤。②對于一些綜合性的數學問題，學生往往考慮問題不夠全面，只能得出片面的答案，可稱之為邏輯性錯誤。③對于一些幾何圖形問題，經常需要添加輔助線進行解答，如果輔助線處理不當就會增加解題難度甚至出現錯誤，可以稱之為策略性錯誤。④學生經常會看錯題目，甚至在抄寫答案時寫錯位置，這類問題越到大考越明顯，這種為心理性錯誤。針對以上這幾種錯誤，教師可以找出學生的錯誤根源，再加以例題訓練，有針對性地提升學生的解題素養[1]。

1? ?類比易混錯誤，厘清概念本質

類比思想是根據兩個對象之間的某些相同或相似的屬性，推出它們存在其他相同或相似的屬性的思維方法。而有一些數學概念很相近，但卻是完全不同的兩個概念，如去分母和通分是分數和分式學習中的兩個重要的概念，學生經常混淆。這就要求教師從概念入手，幫助學生厘清這兩個概念，認清它們的本質特征[2]。

如在解分式方程?1=時，學生將方程移項得到?=1，然后習慣性將作為公因式提出來，得到（2x?1）=1，這樣增加了計算量，而在計算時，卻反而將式子轉化為2a?（a+2），丟了分母。出現這種情況的原因在于學生沒有厘清去分母和通分的概念，去分母是運用等式的基本性質，它只適用于等式，而通分是分式的基本性質，只對分子分母進行同時擴大（或縮小）。

2? ?利用漏解錯誤，培養嚴密思維

數學課堂教學不僅是傳授學生知識，更重要的是給學生提供思考和探究的機會。教師在教學中可留意學生的一些錯誤，對一些有代表性、拓展性、“錯的有道理”的錯誤進行挖掘，將其開發成教學資源，因為學生都想知道錯在哪里，自然學習興趣濃厚，教學效果往往超過預期[3]。如解一元二次方程是數學計算中的一個重點，但學生在解題時經常出現漏解的情況，合理運用解一元二次方程的四種方法對解方程問題有很大的幫助。

如（3x?4）2=（4x?3）2這道題目，筆者發現本班有十幾位學生只考慮到兩底數相等的情況得3x?4=4x?3，得出x=?1。這時要進一步探究一元二次方程解的個數情況，當Δ>0時，方程有兩個解，從而得出漏掉兩底數相反數的情況，像這種情形可以先認清方程結構，移項后利用平方差公式的方法防止漏解，得（3x?4）2?（4x?3）2=0，進而得出[（3x?4）+（4x?3）][（3x?4）?（4x?3）]=0，又得（3x?4）+（4x?3）=0，（3x?4）?（4x?3）=0兩個方程，這樣就不會出現漏解的情形了。因此，通過深入探究和拓展學生的錯誤，讓學生順著自己錯誤不斷探究，從而得出正確的結論和錯誤的原因，能夠生成有價值的認知，把學生的錯誤轉變為寶貴的教學資源，在探究與比較的過程中提升了學生思維的深刻性、嚴密性。

通過以上分析，不難發現數學學習是一個不斷總結、挖掘問題，然后解決問題的過程。教師在講解一些比較難的問題時，可先用一些淺顯易懂的問題引入，然后逐步滲透一些數學思想和數學方法，從而提高學生的思維能力，使學生掌握一定的數學方法。

3? ?巧借解題挫折，滲透化歸思想

化歸思想是一種重要的解題思想和思維方式，尤其在解答綜合型數學問題時，化歸思想顯得尤為重要。應用化歸思想往往能將一個復雜的問題分解為若干個簡單的小問題，然后逐步攻克每一個小問題，最后達到解決整個問題的目的[4]。此外，學生最怕的就是數學應用題，這種題型往往比較抽象，學生很難把握要點，這就需要教師在教學中引導學生選擇合適的方法進行分析，將問題畫成線段圖、借助坐標系等。初中生在計算中經常會遭遇挫折，出現突然算不下去的情況，如用方程解應用題，方程已經列出來，卻解不出方程。

如題：據某市交通部門統計，2008年底全市汽車擁有量為15萬輛，而截止到2010年底，全市的汽車擁有量已達21.6萬輛。求2008年底至2010年底該市汽車擁有量的年平均增長率。當列出方程15（1+x）2=21.6后，有些學生習慣于將方程展開進行求解，15+30x+15x2=21.6，這樣用不了幾步就會出現解不下去的情況。對于這種情況，教師首先可向學生強調直接開平方法的應有的結構為（x+m）2=n（n ≥ 0），從而將方程轉化為（1+x）2=1.44，就能輕松地得出x=0.2。處理這類問題時不要盲目地展開求解，要先觀仔細察方程結構，再對照解一元二次方程的幾種常用方法，選擇合適的方法，突出數學化歸思想，從而讓學生在遭遇“解題挫折”時豁然開朗。

學生解題出錯或者方法繁瑣難解，是學生必然要經歷的過程。此時教師要正確引導，幫助學生分析錯誤原因，適當配以例題教學和拓展練習，讓學生正確理解相同類型題目的解題思路，進而幫助學生掌握解題方法，培養學生良好的數學學習習慣，增強學生的學習信心，達到幫助學生熟練掌握解題策略的目的。

4? ?運用計算技巧，實現化繁為簡

初中生在解題時經常會遇到一些計算量大而繁雜的題目，很多學生常常半途而廢，這主要是因為學生的計算能力不強。學生想要具備比較扎實的計算能力，一定先要掌握常用的定理、口訣、公式，如三角函數公式、二次函數的頂點坐標公式、圓的垂徑定理等，學生在記憶這些公式時，還要弄清公式的來源。

如題：如圖1，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，，CE=1，AB=6，求弦AF的長。

本題考查圓的性質和有關的計算。通過Rt?AOE的三邊關系，確定半徑OA=OB=5，AE=BE=3，下面就是針對線段AM靈活運用勾股定理，單靠一次勾股定理無法得出AM的長，必須借助Rt?ABM和Rt?AOM兩次勾股定理，即AB2?BM2=AM2，AO2?OM2=AM2，從而得出AB2?BM2=AO2?OM2，62?（5?OM）2=52?OM2。這里的計算量較大，要求學生熟練掌握勾股定理的內容以及完全平方公式的展開式。得出OM=后，教師進一步提問，如何求AM的長，學生異口同聲AM2=AO2?OM2，但接下來大家都愣住，因為式子中出現AM2=52?（）2，有學生看到分數的平方就產生畏難情緒，做不下去了，索性放棄。還有學生采用平方差公式，AM2=×=進行開方，還是無法得出結果。出現這種情形，不妨先觀察幾個數字的結構，5可以看作，由此可以聯想到常用的勾股數7、24、25，因此可以直接確定AM的值是。從這道例題可以看出，計算不僅需要有扎實的基本功和較好的心理素質，還要掌握一定技巧，而這種技巧來源于數學知識的積累。

初中生的數學成績在很大程度上取決于解題能力的強弱，而解題能力不是一朝一夕就能提高的，要靠學生平時的積累和教師適時的引導。學生解題時要多觀察，多思考，找出規律。教師也要讓學生通過一些相應的練習鞏固知識，讓學生形成完整的知識體系。

總之，筆者通過多年的實踐發現，善于利用學生的錯誤資源，對提高學生成績有很大的幫助。教師可引導學生將一個學習階段中的錯題按選擇題、填空題和解答題劃分，集合成一個錯題庫。在階段測試時，教師讓學生在自己的錯題庫中挑選一些題目制成一份試卷，這種方法能讓學生對錯題有更深的認識，有效提升學生的解題素養。

【參考文獻】

[1]王海燕.初中數學教學生成資源利用研究[D].南京：南京師范大學，2015.

[2]黃玉華.一道習題的解法探究與思考[J].中學數學教學參考，

2020（8）：54-56.

[3]李娜.注重反思，發揮錯題效益[J].中學教學參考，2017（5）：7-8.

[4]盧凌.利用學生錯誤發展學生思維水平[J].物理教師，2017

（8）：20-22.

【作者簡介】

呂學兵（1977～），男，漢族，江蘇蘇州人，本科，中學一級教師。研究方向：數學教育。