圓的最值問題探究

【摘 要】圓作為特殊的幾何圖形，其相關知識是中考的熱點、重點、難點，圓的考查在中考中占有舉足輕重的位置，其中圓的最值問題尤其重要。筆者試圖通過研討一堂初三復習課，探討解決圓的最值問題的策略。

【關鍵詞】圓的最值問題;初中數學;復習課

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0070-02

如何提高初三數學復習課的創新性和有效性，是一線初中數學教師應該研究的問題。以圓為載體的最值問題（“隱圓”）是中考的常見題型，也是中考的熱點、難點問題[1]。有的學生對圓的最值問題感到束手無策，主要原因就是對求最值的方法了解不多，思維不夠靈活。下面筆者通過一堂初三數學復習課，給出一道例題的解法并對例題進行辨析，充分調動學生思維，以達到舉一反三的效果。

1? ?思路分析

例題：如圖1，在邊長為的等邊?ABC中，動點D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，連接BE、AD，相交于點P，求CP的最小值。

分析：對于等邊三角形，不僅要明白等邊三角形邊角的特殊性，還要從對稱、旋轉（將圖形繞中心旋轉120°會與原來重合）的角度看待它。而本題又提供了線段等定性關系，不難發現存在兩個全等三角形，得到對應角相等。發現∠APE是一個定角，從而發現P點的運動路徑，利用“定弦定角的隱圓模型求CP的最值。

常規型1：如圖1，C為定點，P為動點，嘗試是否能夠解決點P的運動軌跡。AB為定長，∠APB為定值，想象定弦定角的隱圓模型。

常規型2：如圖2，作過A、B、P三點的外接圓，可在說理過程中略顯不足，故考慮先將其轉換為對角，在構造固定三角形的情況下建立外接圓，再證明點P是圓上一點。而點到圓的距離最值為連心線的近交點和遠交點分別為最小值和最大值時的位置。

2? ?具體解法

2.1? 常規型1

解：∵ ?ABC是等邊三角形，

∴ ?ABE≌?CAD（SAS），

∴ ∠1=∠2，∴ ∠APB=180°?（∠1+∠3）=180°?（∠2+∠3）=180°?60°=120°，

∵ AB=，則A、B、P三點共圓，在該優弧上任取一點G，連接AG、BG，

∵ A、G、B、P四點共圓，

∴ ∠AGB=60°，∴ ∠AOB=2∠AGB=120°。如圖3，連OC，與圓O的交點是P，CP取最小值。

∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC垂直平分AB，

∴ AF=BF=，∠4=∠5=60°，

∴ tan ∠4=，∴ OF==1

∴ OA=2OF=2

同理，OC=4。∴ CP=OC?OP=2，∴ CP的最小值為2。

2.2? 常規型2

解：等邊三角形ABC中，可證?ABE≌?CAD，

∴ ∠CAD=∠ABE，

∴ ∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°，∴ ∠APB=120°，

如圖4，過A作OA⊥AC于A，過B作OB⊥BC于B，OA、OB交于O。

可證∠1=∠2=30°，∴ ∠AOB=180°?2∠1=120°，

∴ OA=OB。

以O為圓心，OA長為半徑作圓，則AB為圓O的弦。

①假設P在圓外，如圖5，∵ ∠AOB=120°，

∴ ∠AFB=∠AOB=60°，

∴ ∠AMB=180°?∠AFB=120°，

∴ ∠APB=∠AMB?∠MAP<120°，

這與∠APB=120°矛盾，故P不在圓O外。

②假設P在圓O內，如圖6。

同理可證矛盾，故P不在圓O外，

∴ P在圓O上，連接OC交圓O于P'。

根據三角形兩邊之和大于第三邊可知，

如圖4，當點P在P'處時，CP最小。

又∵ OA⊥AC，OB⊥BC，∴ AC、BC為圓O切線。

∴ ∠OCB=∠ACB=30°，

∴ tan∠OCB==，

∴ OB=·BC=2=OP。

∴ OB=2OB=4，∴ CP=OC?OP=2，

則CP的最小值為2。

3? ?總結

（1）最值問題常規思路：①根據已知條件得到圖形中不變的量，如推導出定角、定長;②確定變化的點的軌跡，如見定角→找對邊（定長）→想周角→轉心角→現隱圓→定軌跡→求最值;③將待求未知量最值轉化為點圓的距離最值問題[2]。

（2）關注學法：利用隱圓解決這類最值問題對初中生而言是一個難題。一個難點是點的軌跡是圓（或弧）的判斷，另一個難點是點的軌跡是圓的證明。日常教學中教師要注重培養學生的幾何直觀與作圖能力，隱圓的問題可開展探究型的專題課程，讓學生逐步掌握方法，引導學生歸納定角定弦題型的一般解題步驟，包括①（直觀感知）動由靜生，取若干個不同位置的P點，觀察發現動點的運動軌跡是一段弧;②（對比發現）變中不變，尋找不變的張角（定角）或找張角的鄰補交角（常為特殊角），尋找該定角所對的定邊（定長）;③（條件轉化）隱圓出現;④（求得最值）雙定確認。

（3）提升認知：平面幾何在解決動的變化過程中，尋找不變性是通法。本問題中?ACD≌?BAE是最本質的不變性，抓住全等的不變性發現D、C、E、P四點共圓，進而發現∠APB=120°的不變性，再探知點P的軌跡，然后“穿心”可解。

通過上面的例題可以看出，初中數學習題教學的創新研究至關重要。因圓的最值問題是常考題型，所以復習時教師可以在習題教學中通過改變題目的條件、背景，引導學生多角度地探索習題。

【參考文獻】

[1]曹建聯，李翠.把握問題本質巧解圓中最值[J].中學數學教學參考，2019（30）.

[2]王國兵.探究以圓為背景的最值問題[J].初中數學教與學，

2014（1）.

【作者簡介】

王偉（1983～），男，福建惠安人，中學一級教師。研究方向：中學數學教學。