淺談模型思想在初中數學解題中的運用

【摘 要】從數字到未知量的過渡，是小學數學過渡到初中數學的一個具體體現。從數字到未知量的變化，本質也是數學模型化的過程。模型思想使數學解題有規律可循，也能展示數學的本質特征。本文從點的旋轉與位置、乘法公式在速算中的運用、二次函數的最值問題、函數解析式的確定、單循環比賽以及幾何中的中點問題，來展示模型思想在數學解題中的運用。

【關鍵詞】模型思想;初中數學;解題;運用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0035-03

數學課堂離不開解題，在解題過程中學會總結歸納，才能收獲更多。下面圍繞模型思想在初中數學解題中的運用展開論述，與大家分享交流。

1? ?點的旋轉與坐標

例1：以原點為中心，把點A（4，5）逆時針旋轉90°，得到點B，求點B的坐標。

如圖1，解答此題時，學生會很自然地通過畫圖直觀地得到正確答案。當得到題目的正確答案時，學生通常不會再深入思考這道題，這樣學生就會喪失一次提升自己思維能力的機會[1]。

教師講解這道題時，可以這樣引導學生：“請大家觀察A點的坐標（4，5）和B點的坐標（?5，4），然后大膽地猜想，并帶著自己的猜想，試著解答下面的問題。”

練習：①以原點為中心，把點A（m，n）逆時針旋轉90°，得到點B，求點B的坐標。②以原點為中心，把點

A（m，n）順時針旋轉90°，得到點B，求點B的坐標。

通過上面的追問，不僅鍛煉了學生大膽猜想的數學品質，還使學生經歷了從特殊到一般的思維過程，這對學生數學核心素養的提升是大有好處的。此時，再把剛剛得到的一般性結論應用到下面的中考真題之中：

（2019年宜昌中考第15題）如圖2，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，∠AOB=∠B=30°，OA=2，將?AOB繞點O逆時針旋轉90°，點B的對應點B'的坐標是（? ）。

A.（?1，2+）? ? ? ? ? B.（?，3）

C.（?，2+）? ? ? ? D.（?3，）

用中考真題幫助學生鞏固剛得到的一般性結論，讓學生體驗反思的價值。

2? ?點的位置

例2：點M（t+3，t?5）一定不在第? ? 象限。

這道題目通常會出現在七年級下學期的考試中，用于考查平面直角坐標系和不等式組的知識，當時的解法會用到分類討論的數學思想。

解：分情況討論如下：若點M在第一象限，則 ，解得 t >5;

若點M在第二象限，則 ，此不等式組無解;

若點M在第三象限，則 ，解得t < ?3;

若點M在第四象限，則 ，解得?3

所以，點M一定不在第二象限。

如果此題出現在中考復習階段，應用上面的方法會顯得過于繁瑣，而用函數的觀點解答此題則更能突顯

數學的魅力。

解：令 ，則 y?x=?8，所以 y=x?8。

這個一次函數的圖象如圖3所示，所以點M一定不在第二象限。

3? ?完全平方公式與平方差公式

例3：計算992。

解：應用完全平方公式進行簡便運算如下：

992=（100?1）2

=1002?2×100+12

=10000?200+1

=9801。

上面的解法常見于教科書或參考資料中，有沒有其他的解法呢？

解：應用平方差公式進行簡便計算如下：

992=992?12+12

=（99?1）（99+1）+1

=98×100+1

=9801。

你更喜歡哪種方法呢？多了一種方法，就多了一種數學學習的體驗。

4? ?實際問題與二次函數

例4：用總長為60 m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化，當l是多少米時，場地的面積S最大？

解：矩形場地的周長是60 m，一邊長為l m，所以另一邊長為（30?l） m，場地的面積S=l（30?l）。

即S=?l2+30l

=?（l2?30l+225?225）

=?（l?15）2+225。

答：當l是15 m時，場地的面積S最大。

上面的解法是很多教科書和參考資料選取的方法，其實這種方法顯得有點復雜。在二次函數的實際應用中，求最值時，應用“雙根式”勝過“一般式”和“頂點式”。如上面的題目中，當得到“雙根式”S=l（30?l）時，可知此函數與橫軸的交點坐標分別為（0，0）和（30，0），根據拋物線的軸對稱性可知，當l==15時，S取最大值。這種方法既不需要把“雙根式”化為“一般式”再化為“頂點式”，也無需代入頂點坐標公式求解[2]。

5? ?一次函數解析式的確立

例5：已知點A（5，0）、B（0，4），求直線AB的解析式。

解：設直線AB的解析式為 y=kx+b，因為A（5，0）、B（0，4），所以，解得，所以直線AB的解析式為 y=?+4。

上面的解法是待定系數法的一般過程，有沒有好的方法呢？能否更快速高效地得出結果呢？答案是肯定的。求一次函數的解析式，關鍵是求出k和b的值，學生對b的值比較熟悉，它是直線與縱軸交點的縱坐標，在本題中b=4，那么k的值是多少呢？k的絕對值等于直線與x軸所夾銳角的正切值，即|k|==，再結合直線從左至右下降，可知k=?。

6? ?二次函數解析式的確立

例6：已知二次函數經過點A（?1，0）、B（3，0）、C（0，2），求二次函數的解析式。

解法一：設二次函數的解析式為 y=ax2+bx+c，則

，

解得，

所以二次函數的解析式為y=?x2+x+2。

解法二：設二次函數的解析式為y=a（x+1）（x?3），則?3a=2，所以a=?，所以二次函數的解析式為

y=?（x+1）（x?3）。

上面的兩種解法分別運用了一般式和雙根式，有沒有更快的方法呢？答案是肯定的。雙根式要優于一般式，因為它省略了解方程組的過程，在雙根式中，僅僅需要確定待定系數a的值就可以了，而下面的方法可以一眼就看出a的值，a==?，分子當中的2就是拋物線與y軸交點的縱坐標，分母當中的?1和3就是拋物線與x軸交點的橫坐標。因為在根與系數的關系中，

x1x2=，所以a=，在本題中，c=2，x1=?1，x2=3。

7? ?單循環比賽

例7：要組織一次排環邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場。根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，那么比賽組織者應邀請多少

個隊參賽？

解：設應邀請x個隊參賽，根據題意得，=28，解得x1=8，x2=?7（舍）。

答：應邀請8個隊參賽。

此題是一元二次方程應用中的單循環比賽類問題，與握手問題屬于同種類型。當解答完此題后，要追問：如果此題改為選擇題或填空題，有沒有更高效的方法得出最后結果呢？如何由總的比賽場次28得出參賽的隊伍數8呢？筆者發現，只需讓28乘以2，得到56，然后思考兩個連續自然數相乘的積為56，其中較大的那個自然數即為最后結果。由此告訴學生，小題不必大做，這樣可以更好地解題。

8? ?中點問題

例8：如圖4，?ABC中，AB=8，AC=6，求中線AD的取值范圍。

解：如圖5，延長AD至E，使DE=AD，連結BE，

因為AD是中線，所以BD=CD，又因為∠ADC=

∠EDB，

所以?ADC≌?EDB，

所以BE=AC=6，

在?ABE中，AB?BE

所以8?6<2AD<8+6，所以1

上面這種解法的關鍵是應用了倍長中線的輔助線作法，“見中點，倍長中線”是常用的輔助線作法，那么此題還有沒有其他方法呢？只要樂于思考探究，方法總是有的。

解：如圖6，取AB的中點F，連接DF，

則DF=AC=3，AF=AB=4，

在?ADF中，AF?DF

所以4?3

所以1

上面的方法為學生提供了一種新的思考方向，當見到中點時，可以再造中點，連成中位線，從而運用中位線的性質解決問題。

在運用模型思想解題的過程中，筆者和學生收獲頗豐，學生感受到了數學學習的快樂。筆者認為，能夠使學生感到快樂的教學方式應該是有效的，是值得教師不斷探究的。

【參考文獻】

[1]張素蘭，李景龍，王增昌.合學教育：打造教學“動車組”[M].北京：中國林業出版社，2008.

[2]鐘家軍.例談模型思想在初中數學中的應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（14）.

【作者簡介】

王棟波（1976～），男，漢族，河北廊坊人，本科，中小學一級教師。研究方向：初中數學教學。