NSD隨機陣列加權和最大值的收斂性

胡學平, 王柳柳, 楊 瑞

(安慶師范大學 數理學院, 安徽 安慶 246133)

1 引言與預備知識

隨機序列在金融風險和可靠性系統等領域應用廣泛, 目前已取得了許多研究成果. 文獻[1]在超可加函數的基礎上, 引入了負超可加相依(negatively superadditive dependent, NSD)隨機序列, 并通過一個例子表明NSD序列不蘊含NA(negatively associated)序列. 文獻[2]研究表明, NA序列是NSD的. 因此, NSD序列是一類更廣泛的相依序列. 文獻[1]還舉例說明了排列分布、 橢球等高分布、 多項分布、 Dirichlet分布、 多元超幾何分布等在一定條件下均具有NSD序列的性質. 故研究NSD序列的極限性質有一定的理論意義. 文獻[3]研究了NSD序列加權和的強收斂性質; 文獻[4-8]分別研究了NSD變量的完全收斂性、 加權和的完全收斂性及其移動平滑過程的完全收斂性; 文獻[9]和文獻[10]分別給出了NSD序列的Rosenthal型矩不等式及其在NSD誤差下EV(errors-in-variables)回歸模型中估計量的相合性等結果; 文獻[11]給出了NSD誤差下線性模型最小絕對偏差(LAD)估計的線性表示.

如果對任意的x,y∈n, 有

φ(x∨y)+φ(x∧y)≥φ(x)+φ(y),

則稱函數φ:n→是超可加的.其中x∨y表示各分量中取最大值者,x∧y表示各分量中取最小值者.

定義1[1]對于隨機向量X=(X1,X2,…,Xn), 如果其滿足

定義2[12]設{Xnk, 1≤k≤kn↑∞,n≥1}為一個隨機變量陣列, {ank, 1≤k≤kn,n≥1}為一個實數陣列, 且對任意n∈, 存在常數C>0, 使得若滿足

(1)

易證式(1)等價于下列兩式成立：

(2)

(3)

引理1[1]如果隨機向量(X1,X2,…,Xn)是NSD的, 且f1,f2,…,fn均為非降函數, 則(f1(X1),f2(X2),…,fn(Xn))也是NSD的.

證明: 令

則對0

根據式(2), ?ε>0, ?M>0, 使得當t>M時, 有

由ε的任意性及0

2 主要結果

定理1設{Xnk, 1≤k≤kn,n≥1}是一個行NSD隨機陣列, {ank, 1≤k≤kn,n≥1}為一個實數陣列, 若對1≤r<2, 滿足下列條件：

則

因為

故只需證明I1→0,I2→0.

根據Markov不等式及引理2, 有

根據引理3, 取p=2, 可得I11→0,n→∞.對于I12, 由條件(ii)和條件(i)可得

證明: 沿用定理1的記號, 根據Cr-不等式、 Jensen不等式、 引理2及式(1), 有

下面證明I3→0,I4→0,n→∞.與定理1中I1→0的證明類似可得I3→0,n→∞； 由式(1)可得I4→0,n→∞.

定理3設{Xnk, 1≤k≤kn,n≥1}是一個行NSD隨機陣列, {ank, 1≤k≤kn,n≥1}為一個實數陣列,kn=O(n),n→∞.若對02及αr≥1, 滿足下列條件：

則

由Markov不等式及引理2, 有

由條件(ii)可知, 存在M>0, 使得當x>M時, 有

因為xn→∞, 從而?n0, 使得當n≥n0時, 有xn>M, 再注意到δ>2,αr≥1, 于是有

條件(ii)等價于

因此對上述的n0和M, 當xn>M時, 結合kn=O(n), 有

類似定理3的證明可得：

推論3設{Xnk, 1≤k≤kn,n≥1}是一個行NA隨機陣列, {ank, 1≤k≤kn,n≥1}為一個實數陣列,kn=O(n),n→∞.若對02和αr≥1滿足定理3的條件, 則