時間尺度上約束Hamilton系統的Noether對稱性和守恒量

鄭 明 亮

(無錫太湖學院 機電學院, 江蘇 無錫 214064)

現代數學和物理力學的一個交叉部分是動力學系統的對稱性與守恒量. 當力學系統Lagrange函數的Hess矩陣不滿秩時稱為奇異系統, 它在相空間中用Hamilton形式表述, 被稱為約束Hamilton系統[1]. 在數學物理和工程技術等領域, 許多重要的動力學問題均符合約束Hamilton系統模型, 如電磁場、 光的橫移現象、 量子電動力學行為和超弦理論等. 約束Hamilton系統對稱性理論和守恒量的相關研究已取得較多成果. Dirac[2]首先提出了約束Hamilton系統的量子化問題； Li等[3]研究了經典水平下奇異系統的Noether對稱性與守恒量； Mei等[4]研究了奇異Lagrange系統Lie對稱性與守恒量； 張毅等[5]研究了奇異Hamilton系統Lie對稱性與守恒量; 羅紹凱[6]研究了奇異Hamilton系統的Mei對稱性與守恒量, 并比較了Mei對稱性、 Noether對稱性和Lie對稱性的差異. 但目前奇異系統理論的研究大多以連續時間為基礎, 即導數仍然是經典導數的意義, 但在一般動力學系統中, 時間尺度[7-8]的微積分性質更具廣泛性, 它可將連續和離散統一, 揭示連續和離散的異同點, 并能更清晰、 更準確地刻畫連續與離散系統以及其他復雜動力學系統的物理本質.

目前, 關于時間尺度上動力學系統的對稱性與守恒量的研究大多數針對非奇異系統, 文獻[9-11]研究了時間尺度上的變分、 Lagrange系統的Noether理論和Hamilton系統動力學對稱性； 文獻[12-16]研究了時間尺度上約束力學系統的理論框架. 由于奇異系統自身的內在約束, 因此其時間尺度上的變分問題、 對稱性和守恒量對分析力學和工程科學具有重要意義. 基于此, 本文在文獻[17]的基礎上, 對存在約束的力學系統, 采用時間不變的無限小變換, 推導時間尺度上奇異Hamilton系統的Noehter對稱性理論, 并舉例說明結果的應用.

1 時間尺度上約束Hamilton系統的正則方程

引進時間尺度上廣義動量和Hamilton函數為

(1)

時間尺度上非保守Hamilton量為

(2)

將式(1)代入式(2)并進行變分運算可得

(3)

(4)

利用邊界條件, 式(3)可化簡為

φj(t,qσ,p)=0,j=1,2,…,r.

(6)

這些約束應滿足虛位移和等時變分的限制條件:

(7)

引入Lagrange乘子λj, 先用λjΔt乘以式(7), 再在區間[a,b]上積分, 可得

(8)

將式(8)與式(5)相減可得

(9)

利用Dubois-Reymond引理[7], 可得系統的正則方程為

(10)

若式(6)為第二類約束[5], 則可得所有的Lagrange乘子λj=λj(t,qσ,p).

式(10)即為時間尺度上約束Hamilton系統的正則方程, 在形式上與時間連續完整非保守奇異系統是一致相似的, 表明引入時間尺度上的微積分未對正則方程的單一結構產生影響, 僅增加了導數計算難度.

2 系統的Noether對稱性

在時間尺度上, 約束Hamilotn系統的正則作用量為

(11)

時間不變無限小變換為

(12)

對于任意的子區間[ta,tb]?[a,b], 若式(11)在式(12)的變換下滿足

(13)

則稱這種不變性為時間尺度上約束Hamilton系統在時間不變的無限小變換下的Noether對稱性.

化簡方程(13)得

(14)

將式(14)兩邊對ε求導, 并令ε=0, 可得

(15)

將正則方程(10)代入式(15)可得

(16)

式(16)即為時間不變變換下時間尺度上約束Hamilton系統的Noether恒等式.

3 系統的Noether類型守恒量

若無限小生成元滿足式(16), 且同時存在規范函數G=G(t,qσ,p)滿足結構方程

(17)

則時間尺度上約束Hamilton系統的Noether對稱性可導致守恒量

IN=psξs+G=常數，

(18)

證明： 對式(18)求上三角導數得

(19)

利用式(18), 進一步化簡(19)可得

證畢.

4 應用實例

例1設時間尺度、 系統的Lagrange函數和非有勢廣義力為

(21)

在相空間中研究系統的Noether對稱性和守恒量.

由于系統Lagrange函數的Hess矩陣的秩為0<2, 因此系統奇異. 系統的廣義動量為

(22)

系統的Hamilton函數為

(23)

系統的內在約束方程為

(24)

Lagrange乘子為

(25)

時間尺度上向前跳躍算子和步差算子為

σ(t)=2t,μ(t)=t.

(26)

由式(10)可得系統的正則方程為

(27)

根據Noether等式(16)可知, 系統無限小生成元ξ0,ξs,ηs滿足

(28)

利用關系式

(29)

可得相應的無限小變換生成元

ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=2,η2=-2.

(30)

將式(30)代入結構方程(17)可得

(31)

將式(31)代入系統Noether守恒量式(18)可得

(32)

式(32)即為時間尺度上約束Hamilton系統的Noether類型守恒量.

綜上, 本文對時間尺度上非保守約束Hamilton力學系統的Noether定理進行了研究： 通過對內在約束方程的變分處理, 建立了時間尺度上奇異系統的Hamilton原理和Hamilton正則方程； 考慮時間不變的群變換, 給出了時間尺度上約束Hamilton系統的Noether對稱性的定義和Noether等式, 其為經典力學Noether對稱性的一致延深； 通過構造規范函數, 給出并證明了時間尺度上的Noether類型守恒量, 并通過算例驗證了本文方法和結果的有效性. 由于時間尺度的任意性, 因此該方法可進一步應用到時間尺度上非完整約束奇異系統對稱性與守恒量的研究中.