一個(gè)帶權(quán)函數(shù)拋物方程有界弱解的存在性

李 仲 慶

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院, 貴陽 550025)

1 引言與主要結(jié)果

考慮如下拋物方程:

(1)

其中Ω是N中的有界域, ?Ω為其光滑邊界,N>2,ΩT=Ω×(0,T),ΓT=?Ω×(0,T).假設(shè):

當(dāng)權(quán)函數(shù)a(x,t)恒為1時(shí), 問題(1)為經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程[1].文獻(xiàn)[1-2]研究了熱方程的正則性; Murthy等[3]研究了帶權(quán)函數(shù)的Sobolev空間及帶權(quán)函數(shù)的Sobolev嵌入問題; Cirmi等[4]研究了帶權(quán)函數(shù)且梯度具自然增長條件的橢圓和拋物方程解的L∞估計(jì); 文獻(xiàn)[5-7]考慮了方程低階項(xiàng)的正則化效應(yīng)與解最大模估計(jì)的關(guān)系, 該方法可視為Giorgi迭代技術(shù)做L∞估計(jì)的輔助.

文獻(xiàn)[8]研究了問題(1)的靜態(tài)模型.與文獻(xiàn)[8]相比, 拋物方程需考慮形如

的估計(jì).當(dāng)q=2時(shí), 文獻(xiàn)[9]給出了其拋物嵌入結(jié)果.但當(dāng)1≤q<2時(shí), 需給出新的拋物型嵌入估計(jì), 使得一方面可利用Giorgi迭代引理估計(jì)水平集{(x,t)∈ΩT: |u(x,t)|>k}; 另一方面, 在L∞估計(jì)的過程中右端源項(xiàng)可確定水平集的冪次.本文在經(jīng)典的Sobolev空間框架下, 討論帶權(quán)函數(shù)的拋物方程, 先對權(quán)函數(shù)進(jìn)行擾動(dòng), 構(gòu)造合理的正則化方程; 再選取合適的檢驗(yàn)函數(shù), 對弱解序列的水平集做估計(jì), 利用Giorgi迭代技術(shù)[1]得到解的最大模估計(jì); 最后結(jié)合擾動(dòng)弱解序列的能量估計(jì), 用弱收斂方法證明解的存在性. 本文主要結(jié)果如下:

定理1如果假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則問題(1)存在有界弱解

2 定理1的證明

2.1 擾動(dòng)問題

受文獻(xiàn)[8]啟發(fā), 對權(quán)函數(shù)a(x,t)做如下擾動(dòng)：

則問題(1)對應(yīng)的正則化方程為

(2)

an(x,t)≤a(x,t)+1,

an(x,t)→a(x,t), a.e.于ΩT,

且

(3)

2.2 L∞估計(jì)

命題1如果假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 則存在不依賴于n的正常數(shù)C, 使得

證明: 記Gk(s)=(|s|-k)+sign(s),χA表示集合A上的特征函數(shù).令k>‖u0‖L∞(Ω),τ∈[0,T], 選取Gk(un)χ(0,τ)為問題(2)的一個(gè)檢驗(yàn)函數(shù), 則有

記

由分部積分公式[10,12]及k的選取, 可得

(5)

因此L2可估計(jì)如下:

結(jié)合式(4)～(6), 對τ取上確界, 可將式(4)估計(jì)為

(8)

可得

(9)

用式(9)估計(jì)式(8)可得

(10)

國和亞洲的創(chuàng)新模式進(jìn)行了比較，他指出硅谷的創(chuàng)新是顛覆性且具有創(chuàng)業(yè)精神的創(chuàng)新，是創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新（Entrepreneurial Innovation）；而日本的創(chuàng)新是封閉的，是對已有事業(yè)的擴(kuò)張，是受監(jiān)管的企業(yè)創(chuàng)新（Managed Corporate Innovation）[4]。同時(shí)理查德·戴舍爾教授還指出了開放式創(chuàng)新成功的要素及今后日本要想取得成功所需的要素，如表2所示。因此，實(shí)際上在2010年以前，日本的創(chuàng)新基本屬于封閉式創(chuàng)新，是產(chǎn)學(xué)官合作基礎(chǔ)上的創(chuàng)新。

記水平集Ak={(x,t)∈ΩT: |un(x,t)|>k}, 用|Ak|表示集合Ak的Lebesgue測度. 先后用H?lder不等式和帶ε的Cauchy不等式, 對式(10)的右端做估計(jì):

對式(10)和式(11)選取適當(dāng)?shù)摩? 有

(12)

(13)

因此, 由式(12)和式(13)得

其中C=C(N,s,‖1/a+1‖Ls(ΩT),‖f‖Lm(ΩT)).注意到q的定義, 則有

根據(jù)Giorgi迭代引理[1], 對所有的正整數(shù)n和幾乎處處的(x,t)∈ΩT, 都有

|un(x,t)|≤C,

其中正常數(shù)C不依賴于n.

2.3 un的幾乎處處收斂性

由H?lder不等式、 式(3)、 式(14), 可得

(16)

(17)

(18)

再注意到

(19)

un→u, a.e.于ΩT.

(20)

2.4 取極限

利用式(16)～(18),(20)和Vitali定理及弱收斂的定義, 再取極限即可證明u是問題(1)的一個(gè)有界弱解.