具有半對稱度量ρ-聯絡的共形平坦Yamabe孤立子的特征

潘 鵬, 劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

1 引言及主要結果

(1)

(2)

(3)

對Riemann流形(Mn,g)上的向量場V∈X(M), 如果存在光滑函數σ, 使得度量g沿V方向的Lie導數滿足

LVg=2σg,

(4)

則稱V為(Mn,g)上的一個共形向量場,σ為關于V的勢能函數.當勢能函數為常數0時, 稱V為Killing型向量場[5].記(Mn,g)的數量曲率為r, 如果存在V∈X(M)及常數λ∈, 滿足方程

LVg=(λ-r)g,

(5)

則稱(Mn,g)為Yamabe孤立子, 記為(Mn,g,V,λ), 并稱V為孤立子場,λ為孤立子常數[6].

Yamabe孤立子是Yamabe流[6]

的自相似解, 其在共形幾何中具有重要作用.由于Weyl張量是共形變換下的一個不變量, 且在三維情形中恒為0.因此, 具有某種結構三維Yamabe孤立子的幾何(曲率)性質得到廣泛關注. 例如： Sharma[7]研究了三維具有Sasakian結構的Yamabe孤立子; Wang[8]研究了三維具有Kenmotsu結構的Yamabe孤立子; Ghosh[9]將文獻[8]的結果推廣到一般維數的情形; Chaubey等[10]將半對稱度量ρ-聯絡和Yamabe孤立子相結合, 研究三維具有半對稱度量ρ-聯絡結構的Yamabe孤立子(M3,g,V,λ), 證明了M3的截面曲率為常數-1, 且孤立子常數λ=-6.

受文獻[9]的啟發, 本文將文獻[10]的結論由共形平坦條件下推廣到高維情形, 得到如下結果:

定理1設(Mn,g,V,λ)為n(n>3)維緊致的具有半對稱度量ρ-聯絡的共形平坦Yamabe孤立子, 則其截面曲率為常數-1, 孤立子常數λ=-n(n-1), 且孤立子場V為Killing型向量場.

根據定理1, 并由常截面曲率的Riemann流形必為共形平坦的, 可得如下推論:

推論1設(Mn,g,V,λ)為n(n>3)維緊致的具有半對稱度量ρ-聯絡的Yamabe孤立子, 則其具有常截面曲率的充要條件是(Mn,g,V,λ)是共形平坦的.

2 預備知識及引理

本文約定R,S,Q分別表示關于Levi-Civita聯絡的Riemann曲率張量、 Ricci曲率張量和Ricci變換,X,Y,Z,…表示(Mn,g)上任意光滑切向量場, Δ表示度量g的Laplace算子.根據式(2)和式(3), 一個具有半對稱度量ρ-聯絡的Riemann流形(Mn,g)上成立如下等式：

Xρ=π(X)ρ-X.

(6)

由式(6), 通過計算有

R(X,Y)ρ=π(X)Y-π(Y)X,

(7)

從而

S(X,ρ)=-(n-1)π(X),

(8)

式(8)等價于

Qρ=-(n-1)ρ.

(9)

設V為n維Riemann流形(Mn,g)上的一個共形向量場, Yano[5]證明了

(LVS)(X,Y)=-(n-2)g(Xσ,Y)+Δσ·g(X,Y),

(10)

LVr=-2σr+2(n-1)Δσ.

(11)

此外, Riemann流形(Mn,g)(n≥3)上的Weyl張量C定義[11]為

引理1若(Mn,g)為n(n>3)維具有半對稱度量ρ-聯絡的共形平坦Riemann流形, 則其數量曲率r滿足ρ(r)=2(r+n(n-1)).

證明: 因為(Mn,g)是維數大于3的共形平坦Riemann流形, 故Weyl張量C=0, 從而由式(12)知

由Y,Z的任意性, 在式(13)中令Y=Z=ρ, 得

結合ρ是單位向量場, 即g(ρ,ρ)=1, 利用式(8),(9), 并對比式(7)計算可得

(15)

于是, 任取Y∈X(M), 由式(15)和式(6), 通過計算可得

取{ei}為局部單位正交標架場, 在式(16)中令X=Y=ei并對i求和, 結合恒等式

得

(17)

對式(17)兩邊與ρ做內積, 得ρ(r)=2[r+n(n-1)].證畢.

引理2若(Mn,g,V,λ)為n(n>3)維具有半對稱度量ρ-聯絡的共形平坦Yamabe孤立子, 則數量曲率r是調和的.

(18)

LVr=r(r-λ)-(n-1)Δr.

(19)

另一方面, 任取Y∈X(M), 對式(15)兩邊與Y做內積, 得

(20)

于是, 結合式(5),(18)～(20)及Lie導數算子的性質, 通過計算得

對比式(18),(21), 經計算有

取{ei}為局部單位正交標架場, 在式(22)中令X=Y=ei并對i求和, 利用式(5)及Lie導數算子的性質, 可得Δr=-Δr, 即Δr=0.證畢.

3 定理1的證明

下面證明定理1.因為g(ρ,ρ)=1=π(ρ), 故由式(5)得

(LVg)(ρ,ρ)=(λ-r)g(ρ,ρ)=λ-r.

(23)

又因為

(LVg)(ρ,ρ)=LVg(ρ,ρ)-2g(LVρ,ρ),

(24)

于是由式(23),(24)得

(25)

從而

(26)

另一方面, 在式(22)中, 令X=Y=ρ, 結合式(26), 經計算可得

又因為

ρ(ρ(r))=g(ρr,ρ)+g(r,ρρ)=g(ρr,ρ)+g(r,π(ρ)ρ-ρ)=g(ρr,ρ),

(28)

于是將式(28)代入式(27), 并結合引理1, 經計算得

Δr=2(n-1)[2n(n-2)+λ]+2(n-3)r.

(29)

根據引理2有

(30)

由于λ為常數, 故r是常數, 因此關于孤立子場V的勢能函數σ也是常數.

(31)

其中Ω表示體積元素.由于σ是常數, 因此由式(31)得σ=0.從而孤子場V是Killing型向量場.

此外, 由σ=0知λ=r, 代入式(30)得

λ=r=-n(n-1),

(32)

再結合式(15)得

QX=-(n-1)X.

(33)

最后將式(32),(33)代入式(13), 計算可得

R(X,Y)Z=-(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y),

(34)

表明(Mn,g,V,λ)具有常截面曲率-1.證畢.