壓電纖維復(fù)合材料作動(dòng)行為研究

陳 浩，涂建維，張家瑞，李 召

(武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070)

在減振降噪和結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域，壓電材料因其優(yōu)良的作動(dòng)特性而得到廣泛關(guān)注。壓電陶瓷是常見的壓電智能材料，具有靈敏度高、溫度穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)，但其質(zhì)地脆、柔韌性差且壓電效應(yīng)低。為此，美國國家航空航天局蘭利研究中心研發(fā)了新型壓電纖維復(fù)合材料——宏纖維復(fù)合材料(MFC)[1]。MFC主要由壓電陶瓷纖維、環(huán)氧樹脂基和叉指電極組成，可以通過逆壓電效應(yīng)實(shí)現(xiàn)其作動(dòng)性能。

在航空航天領(lǐng)域，MFC被廣泛應(yīng)用于板殼結(jié)構(gòu)變形、減振控制。PARADIES et al[2]將MFC與機(jī)翼整體建模進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并對(duì)粘貼有MFC的機(jī)翼模型進(jìn)行了靜力、動(dòng)力試驗(yàn)。CHEN et al[3]在MFC對(duì)飛機(jī)尾翼抖振的控制方面進(jìn)行了研究，結(jié)果表明MFC可以有效減小尾翼的抖振。

上述研究表明，獲得精確的MFC作動(dòng)力公式對(duì)研究MFC的應(yīng)用十分重要。目前，多采用有限元整體建模與僅考慮彎曲變形的等效簡化計(jì)算方法研究MFC作動(dòng)力。GUO et al[4]在MFC作動(dòng)力計(jì)算中僅考慮了MFC與結(jié)構(gòu)的彎曲變形，完成了MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制試驗(yàn)。PRASATH et al[5]使用“混合規(guī)則”的概念和串并聯(lián)電容理論進(jìn)行壓電有限元仿真，分析MFC作動(dòng)性能并通過試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。ZHANG et al[6]基于等效參數(shù)和彎曲變形理論，推導(dǎo)了MFC的作動(dòng)力和彎矩公式。但上述研究由于忽略了MFC與結(jié)構(gòu)的剪切變形，仿真精度低且不能體現(xiàn)MFC作動(dòng)力在粘貼界面上的剪切滯后現(xiàn)象。

在板殼結(jié)構(gòu)的研究中，剪切變形理論已被廣泛應(yīng)用[7-8]。MFC復(fù)合結(jié)構(gòu)可被視為層合板結(jié)構(gòu)，層合板結(jié)構(gòu)剪切變形不可忽略。三階剪切變形理論(TSDT)精確度高，可以很好地模擬層合板結(jié)構(gòu)的變形[9]。因此，本文運(yùn)用TSDT推導(dǎo)了MFC的作動(dòng)力公式，以文獻(xiàn)[10]中的MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)為例完成了作動(dòng)仿真與試驗(yàn)的對(duì)比分析。研究表明，基于TSDT的MFC作動(dòng)力公式計(jì)算精度高，可以應(yīng)用于MFC復(fù)合結(jié)構(gòu)的仿真分析。

1 基于TSDT的MFC作動(dòng)力公式

選取極化方向與纖維排列方向平行的P1作動(dòng)型MFC為研究對(duì)象，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。MFC與平板結(jié)構(gòu)的尺寸與粘貼關(guān)系如圖2所示，坐標(biāo)軸的原點(diǎn)位于平板的中心位置。其中，a、b分別為MFC的有效長度與有效寬度；t2為MFC上表面到平板中位線的距離；hp為MFC的厚度；2t1為平板結(jié)構(gòu)的厚度；Es為平板結(jié)構(gòu)的彈性模量；Gs為平板結(jié)構(gòu)的剪切模量。

圖1 P1作動(dòng)型MFC結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 P1 actuation type MFC structure diagram

圖2 MFC復(fù)合平板結(jié)構(gòu)尺寸和粘貼關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of MFC composite panel structure size and pasting relationship

假定結(jié)構(gòu)法線方向的位移v(x,z)與z無關(guān)，MFC粘貼位置處的軸向位移可表示為：

(1)

式中：v(x)為平板結(jié)構(gòu)的撓度；u0(x)為平板結(jié)構(gòu)沿x軸的軸向位移；φx(x)為截面繞x軸的轉(zhuǎn)角；hx(z)為x方向上沿厚度的位移分布函數(shù)，用于表示截面剪應(yīng)變沿厚度的分布。

由于MFC與平板結(jié)構(gòu)材料屬性不同，我們分別定義整體位移分布函數(shù)hg(z)與局部位移分布函數(shù)hl(z)，來滿足MFC與平板結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)與應(yīng)力平衡條件。MFC復(fù)合平板結(jié)構(gòu)截面的位移分布函數(shù)可用下式表示：

(2)

式中：j1、j2、k1、k2表示局部位移分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，ξ1、ξ2表示截面的局部坐標(biāo)。

MFC與平板結(jié)構(gòu)為單面粘貼形式，忽略粘貼層厚度，MFC與平板結(jié)構(gòu)完全黏合[11]。MFC的下表面與平板的上表面粘貼，則MFC上表面與平板下表面的剪應(yīng)力為0 N.根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件可知，MFC與平板結(jié)構(gòu)粘貼界面的剪應(yīng)力應(yīng)相等，且位移應(yīng)保持連續(xù)。可以得到局部位移分布函數(shù)中的相關(guān)參數(shù)如下式：

(3)

式中：Gp為MFC的剪切模量，由式(1)可以得到MFC在xz平面內(nèi)的剪應(yīng)變：

(4)

式中：ut1與ut2分別表示MFC在z=t1與z=t2位置處沿x軸方向的位移。

在x軸方向上，建立z=t2位置處MFC的應(yīng)力平衡方程：

(5)

式中：σpx,t2表示z=t2位置處MFC沿x軸方向的正應(yīng)力。

以平板結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，可以得到平板結(jié)構(gòu)在xz平面內(nèi)的剪應(yīng)變：

(6)

式中：u-t1表示在z=-t1位置處平板結(jié)構(gòu)沿x軸方向的位移。

在x軸方向上，建立z=t1位置處平板結(jié)構(gòu)應(yīng)力平衡方程：

(7)

式中：σsx,t1表示在z=t1位置處平板結(jié)構(gòu)沿x軸方向的正應(yīng)力。

聯(lián)立式(1)、式(4)與式(6)并化簡，可以得到：

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)消除平板結(jié)構(gòu)沿x軸方向z=-t1位置處的位移u-t1，可以得到：

(9)

由于MFC傳遞的剪應(yīng)力大部分發(fā)生在MFC邊緣位置(x=±a/2，y=±b/2)，MFC除邊緣位置外正應(yīng)變分布保持恒定[12]。假定MFC復(fù)合平板結(jié)構(gòu)沿x軸方向的曲率為常數(shù)，聯(lián)立式(5)與式(9)可以得到z=t2位置處MFC和z=t1位置處平板結(jié)構(gòu)應(yīng)變偏微分方程組：

(10)

在電壓作用下，MFC內(nèi)力呈對(duì)稱分布且邊緣位置正應(yīng)力為0 N，因此，MFC沿x軸方向的正應(yīng)變也呈對(duì)稱分布。可以得到z=t2位置處MFC應(yīng)變分布通解：

(11)

MFC的本構(gòu)方程[13]可以表示為：

(12)

式中：Ep為MFC沿x方向的彈性模量；Ex為施加于x方向的電場(chǎng)強(qiáng)度；d33為在x軸方向單位電場(chǎng)作用下，MFC在x軸方向產(chǎn)生的應(yīng)變。

MFC復(fù)合平板結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，在作動(dòng)方向上，MFC復(fù)合平板結(jié)構(gòu)的中線位置無剪切變形[14]。文獻(xiàn)[15-16]采用CPT與TSDT兩種方法計(jì)算得到的平板結(jié)構(gòu)撓度與x方向軸向位移幾乎是相等的。為此我們采用CPT計(jì)算得到平板結(jié)構(gòu)曲率與軸向應(yīng)變，然后再代入式(1)中，可以求得z=t2位置處MFC中線位置沿x軸方向的應(yīng)變?chǔ)舙x,c：

(13)

(14)

(15)

圖3 MFC邊緣位置上表面微元應(yīng)力示意圖Fig.3 Schematic diagram of the micro-element stress on the upper surface of MFC edge

將式(13)與式(15)代入式(11)中，可以得到沿x軸方向，z=t2位置處MFC的應(yīng)變：

(16)

聯(lián)立式(4)、(5)與(16)，可以得到MFC沿x軸方向的作動(dòng)應(yīng)力，即MFC與平板結(jié)構(gòu)界面(z=t1)處沿x軸方向的剪應(yīng)力：

(17)

(18)

由于式(18)中的參數(shù)均與平板結(jié)構(gòu)彈性模量及厚度有關(guān)，因此本文提出的MFC作動(dòng)力公式同樣可以反映出MFC作動(dòng)性能與平板結(jié)構(gòu)彈性模量及厚度的關(guān)系。為了進(jìn)一步探究三者之間的關(guān)系，我們以在1 500 V電壓下工作的M2807-P1型MFC為例，取平板結(jié)構(gòu)彈性模量為20 GPa，分析了x軸方向的MFC總作動(dòng)力及總作動(dòng)彎矩與平板結(jié)構(gòu)厚度之間的關(guān)系；取平板結(jié)構(gòu)厚度為20 mm，分析了x軸方向的MFC總作動(dòng)力及總作動(dòng)彎矩與平板彈性模量之間的關(guān)系，具體如圖4所示。

圖4 MFC作動(dòng)性能與受控結(jié)構(gòu)厚度及彈性模量的關(guān)系Fig.4 Relationship between MFC performance and controlled structure thickness and elastic modulus

從圖4可知，MFC的總作動(dòng)力增長速度隨平板結(jié)構(gòu)的彈性模量與厚度的增大逐漸放緩并趨于穩(wěn)定。MFC總作動(dòng)彎矩隨厚度增大而驟增，但隨平板結(jié)構(gòu)彈性模量增長的速度較慢。MFC的作動(dòng)力與結(jié)構(gòu)的彈性模量及厚度呈現(xiàn)非線性關(guān)系，MFC作動(dòng)彎矩與結(jié)構(gòu)厚度呈現(xiàn)線性關(guān)系，與結(jié)構(gòu)彈性模量之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系。這說明了MFC的作動(dòng)性能不僅取決于MFC的材料參數(shù)與工作電壓，還依賴于平板結(jié)構(gòu)的厚度與彈性模量。

2 MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)仿真分析

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的基于TSDT的MFC作動(dòng)力公式的適用性，我們以文獻(xiàn)[10]中的MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)作動(dòng)試驗(yàn)、作動(dòng)仿真為例進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)中采用的是M2807-P1型MFC，MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)粘貼情況和有限元模型如圖5所示。

圖5 MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)粘貼情況與有限元模型Fig.5 Pasting situation and finite element model of MFC composite beam structure

M2807-P1型MFC與復(fù)合梁結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)如表1所示。運(yùn)用基于TSDT的MFC作動(dòng)力公式計(jì)算了P1型MFC在0～1 000 V電壓下的界面剪應(yīng)力分布，如圖6所示。

表1 復(fù)合梁結(jié)構(gòu)與MFC材料參數(shù)Table 1 Composite beam structure and MFC material parameters

圖6 施加不同電壓時(shí)MFC的界面剪應(yīng)力Fig.6 MFC interface shear stress when different voltages are applied

由圖6可知，在x軸方向上，P1型MFC邊緣位置(x=±a/2，y=±b/2)的界面剪應(yīng)力遠(yuǎn)大于中部的界面剪應(yīng)力且其由邊緣位置向中部呈現(xiàn)驟減趨勢(shì)，剪應(yīng)力分布呈現(xiàn)雙曲正弦函數(shù)型。這是由于MFC與復(fù)合梁結(jié)構(gòu)之間存在剪切滯后現(xiàn)象，邊界處剪應(yīng)力存在突變。這說明基于TSDT的MFC作動(dòng)力計(jì)算公式可以準(zhǔn)確地反映出MFC作動(dòng)力的分布特點(diǎn)。由MFC的內(nèi)力分布特點(diǎn)可知，MFC的剪切變形是作動(dòng)力傳遞的主要因素之一。

文獻(xiàn)[10]對(duì)粘貼有M2807-P1型MFC的復(fù)合梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了作動(dòng)試驗(yàn)。本文對(duì)MFC施加0～1 000 V電壓，研究復(fù)合梁結(jié)構(gòu)在10種情況下的靜態(tài)偏轉(zhuǎn)值。首先在作動(dòng)方向上以0.4 mm為計(jì)算長度，使用基于CPT[15]和TSDT的MFC作動(dòng)力公式計(jì)算出MFC的分段作動(dòng)力。然后在ANSYS中通過表面效應(yīng)單元將其施加于對(duì)應(yīng)的粘貼位置，對(duì)1.2 mm厚的MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)端部位移進(jìn)行了仿真計(jì)算。最后將仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，具體如圖7所示。

圖7 MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)端部位移圖Fig.7 MFC composite beam structure end displacement diagram

由圖7可知，隨著施加的電壓增加，復(fù)合梁結(jié)構(gòu)端部位移隨之增大。基于TSDT的MFC作動(dòng)力公式的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大位移偏差為4.37%，而基于CPT的MFC作動(dòng)力公式的仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的最大位移偏差為13.61%.這說明本文推導(dǎo)的基于TSDT的作動(dòng)力計(jì)算公式是正確的，且精度高于基于CPT的作動(dòng)力計(jì)算公式。

3 結(jié)論

本文基于TSDT推導(dǎo)了一種考慮剪切變形的MFC作動(dòng)力公式，并通過仿真驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性和適用性，得出以下結(jié)論：

1) MFC的作動(dòng)力與受控結(jié)構(gòu)的彈性模量及厚度之間的函數(shù)關(guān)系為非線性，MFC的作動(dòng)彎矩與受控結(jié)構(gòu)厚度之間的關(guān)系為線性，與受控結(jié)構(gòu)彈性模量之間的關(guān)系為非線性。

2) MFC在粘貼邊緣位置界面剪應(yīng)力較大，在中部位置界面剪應(yīng)力迅速減小并趨于穩(wěn)定。MFC與復(fù)合梁結(jié)構(gòu)之間的界面剪應(yīng)力分布呈現(xiàn)為雙曲正弦函數(shù)型。

3) 基于TSDT的端部位移仿真結(jié)果與試驗(yàn)的端部位移時(shí)程曲線基本吻合，且優(yōu)于基于CPT的仿真結(jié)果。本文推導(dǎo)的MFC作動(dòng)力公式是適用的且計(jì)算精度更高，對(duì)MFC復(fù)合梁結(jié)構(gòu)具有良好的作動(dòng)效果，可以推廣到板殼結(jié)構(gòu)的減振領(lǐng)域。