千以內數的認識與表達

李織蘭 蔣曉云 秦云霞

【摘要】本文以“認識296”教學片段為例，論述“千以內數的認識與表達”教學策略，以數小棒、整理紀念幣、錢幣認識數的組成，以十進制象形計數法認識數的簡化書寫，以算籌計數法認識數的優化表示，對比算籌和阿拉伯數字從而感知現代計數的形式，培養學生解決數學問題時進一步“優化”“簡化”“美化”的良好習慣。

【關鍵詞】小學數學 數的認識 十進位值計數法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）25-0060-03

在“千以內數的認識與表達”的教學中，“會讀、寫千以內的數”不是最主要的教學目標，而應著力通過生動、豐富的素材，引導學生回溯計數的源頭理解十進位值制計數法，感受符號化思想和“十進制位值”的文化價值。學生回顧對數的認識的歷史，真切地感受到數學的產生和發展是源于現實世界的各種需要，融入了人類的精神、思想、情感。在一次次追求“更簡、更優”的過程中，學生受到數學文化的熏陶。現將《千以內數的認識》一課的“認識296”教學片段分享如下。

一、認識數的組成

（一）數小棒

師：請根據以前的學習經驗，對小棒進行整理，每10根捆成一捆。

（整理后的小捆數比較多，不能“一目了然”，需要再次整理——將10小捆捆成1大捆，引入單位“百”。）

師：這種整理辦法就是十進制。滿十進一：10個“一”是1個“十”，10個“十”是1個“百”。

（二）整理紀念幣

師：粗心的懶羊羊總數不清自己有多少球賽紀念幣，非常難過。聰明的同學們能幫他整理一下嗎？怎樣整理？

（10個一排，10排組成一方塊，學生能一目了然地知道有多少個紀念幣。）

（三）整理錢幣

師：上周，學校舉辦了“情系恭城瑤族紅領巾義賣活動”，大家紛紛拿出自己的零花錢參與活動，既向我們學校幫扶的恭城瑤族新街民族小學的小朋友獻了愛心，又買到了自己喜歡的物品。活動結束了，這是我們班的義賣款。生活委員張磊要負責統計今天的營業額，看上去有點多，也有點亂，大家一起來給他出主意，如何整理一下？

（先分類，相同面額的鈔票放在一起。再一元一元地數，十元十元地數。）

師（出示整理后的圖片）：能一目了然嗎？張磊也覺得拿著這么多錢不方便，怎么辦呢？老師這里有好多10元、100元，誰來和我換一換？

（10張一元可兌換成1張十元，10張十元可兌換成1張百元。）

師：經整理、兌換后，我們班的義賣款是：2張百元，9張十元，6張一元。

師：一而十，十而百，百而千，千而萬。“滿十進一”的計數方法是數學發展史上一個了不起的進步。有了“十進制”，我們就能將較多物品的數量整理得“一目了然”。

【設計意圖】通過整理實物，能一目了然地知道物品的數量，讓學生經歷多元表征理解296的組成是一個重要的過程性目標，理解千以內的數的組成，感悟計數單位“百”產生的必要性，“個”“十”與“百”之間的進率是教學的重點和難點。整理實物的過程中，學生體會十進制計數法：滿十進一，即10個“一”是1個“十”，10個“十”是1個“百”。

二、簡化數的書寫

師：上面的活動都是由2個百、9個十和6個一組成，我們要畫實物圖表示數。桌子上有_____________根小棒。懶羊羊有____________個球賽紀念幣。我們班的義賣款有____________元。你對這幾句話的書寫有什么看法？

（學生認為，畫實物圖很直觀，但也麻煩。）

師：5000年前古代埃及人就發明了“十進制象形計數法”，用 表示“百”，用 表示“十”，用 表示“一”。2個百、9個十和6個一組成的數就可以統一表示成：

______________________________。

我們的桌子上有_______________根小棒。

懶羊羊有___________個球賽紀念幣。

我們班的義賣款有______________________元。

請同學們說一說古埃及發明的“十進制象形計數法”的優缺點。

（學生得出共識：古埃及“十進制象形計數法”的可取之處是采用先進的十進制。但是，古埃及數字寫起來很麻煩，符號很多。）

【設計意圖】“十進制象形計數法”用不同的符號代表不同的計數單位“個、十、百、千……”，人們只用有限的幾個符號就能表示一個較大的數。這樣教學展現了數學符號思想演變的脈絡，而且增強了學生對數學符號的感受性。“簡潔”和“優化”是數學和數學家的一貫追求，并已上升為一種共同精神，成為數學文化的重要品格之一，“十進制象形計數法”是人類的一種創造，因而是可以質疑、可以被改造的。

三、優化數的表示

師：2000多年前，中國古代發明了一種更加方便計數的工具——算籌。在算籌計數法中，以縱橫兩種排列方式表示單位數目。表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。這種計數法就是現代的“十進制位值計數法”。

（教師演示算籌的使用方法。）

“算籌”放在不同的數位上，就表示不同單位的數。在個位上放一個__________表示6個“一”，在十位上放__________________表示9個“十”，在百位上放一個_________表示2個“百”。用中國算籌計數法將“2個百、9個十和6個一組成的數”表示如下。

單獨采用縱式或橫式表示多位數，會產生“二義性”。如：單獨用縱式表示23時，有可能被看成5，也可能被看成32，數位與數位之間就可能無法分清。使學生切實理解為什么要用縱橫交錯的方式，體會數學的嚴謹性。

用算籌計算32+35的過程中，使用“對位相加”，讓學生體會到算籌計數比古代埃及的“十進制象形計數法”方便。

師：算籌是世界上最早使用“十進位值制計數法”的，1000多年以后其他國家才開始使用“十進位值制計數法”。位值制的表示形式簡潔，而且方便運算，形成了很多口訣和法則。可以說算籌是計數歷史上的一個創造、一個奇跡。馬克思在《數學手稿》一書中稱十進位值制計數法為“最妙的發明之一”。

算籌難以固定，所以中國古人想到了用珠子代替竹子，穿在細棒上，固定在木框上，古代的“算籌”逐漸演變成了“算盤”。明代數學家吳敬所著的《九章算術比類算法大全》中，已正式有了“算盤”這一名稱。算盤的發明可與中國古代四大發明相媲美。它不僅是計數工具，也是當時最先進的計算工具。用算盤進行計算叫做“珠算”，在計算過程中，形成了很多實用的珠算口訣。

我國第一顆原子彈的研制需要進行大量的計算，當時我國還沒有計算機，連電子計算器都沒有，靠的就是算盤。（播放電影《橫穿出世》的片段，展現算盤高手聚集在一起日夜計算的壯觀場面。）這些算盤高手不僅能夠迅速地計算，還要有嚴謹、認真、一絲不茍的工作態度。

這個計數方法由繁到簡的演變過程中，使學生受到“求真、求簡、求優”精神的熏陶。

【設計意圖】算籌計數法中的每個“數字”不僅有自身的值，還有一個位置，這種計數法使得人們可以用有限個符號表示一個任意大的數，在人類文化發展史上有偉大意義，通過介紹“算籌計數法”，弘揚古代中國數學的輝煌成就。中國人靠算盤完成了研制原子彈過程中的量計算，分毫不差，說明算盤不僅在古代，而且在近代是世界最先進的計算工具之一，進行一次很好的愛國主義教育，同時培養學生一絲不茍、嚴謹認真的科學精神，體現數學學科獨特的育人價值。

四、現代計數形式

師：中國古代的籌算和算盤是當時最先進的計數方法，也是最先進的計算工具。1000多年后，印度人發明了數學符號和“十進位值”體系，印度數字和印度計數法既簡單又方便。大約公元700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地區，他們吃驚地發現被征服地區的數學比他們先進，阿拉伯的學者很愿意學習這些先進知識，樂于采用這種計數方法。后來，阿拉伯人把這種數字傳入西班牙。公元10世紀，又傳到歐洲其他國家，公元15世紀，歐洲人普遍采用“阿拉伯數字”。那時的“阿拉伯數字”的形狀與現代的不完全相同，許多數學家花費了大量心血去美化，最終演變為現代的1、2、3、4、5、6、7、8、9、0的書寫方式。

提問：算籌和阿拉伯數字，你更喜歡哪一種計數方式？為什么？

學生討論分析得出結論：阿拉伯數字用的符號個數少，只有10個符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。而算籌縱式符號9個，橫式符號9個，及表示“無”的“空位”，一共要用19個符號。用阿拉伯數字寫數，看起來比算籌寫數美觀，也容易書寫。

【設計意圖】反思為什么我國古代數學家發明的“算籌計數法”沒能成為現代計數方法，流傳甚廣的是“阿拉伯數字”，激勵學生養成解決問題后再進一步“美化”和“簡化”的良好習慣和思維品質。

數的認識過程，是人類探索數學領域的具體表現，從5000多年以前的古埃及的十進制象形計數法，到2000多年前中國古代的十進制位值計數法（算籌計數法），再到現代十進位值計數法（阿拉伯數字表示法），這種對數學的原味解讀，讓學生感受到數學知識的成長性、建構性，對學生無疑是一次思維的歷練與智慧的啟迪。“簡潔”和“優化”是數學和數學家的一貫追求，追求“更簡”“更美”已上升為一種數學精神，激勵學生養成解決問題后進一步的“優化”“簡化”“美化”等良好習慣，培養致善精神。

【參考文獻】

[1]蔣曉云.文化視角下的小學數學課例研究[J].廣西教育，2018（1）.

基金項目：2020年度廣西基礎教育改革發展研究中心課題“基于核心素養的數學‘致善精神的培養策略研究”（課題編號：GSJJB202005）的研究成果。

【作者簡介】李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，碩士研究生學歷，桂林師范高等專科學校副教授，主要從事數學教育和教育管理工作研究;蔣曉云（1963— ），本文通訊作者，男，漢族，廣西桂林市人，大學本科學歷，桂林師范高等專科學校教授，主要從事數學教育和基礎教育研究;秦云霞（2000— ），女，漢族，廣西靈川人，大學專科學歷，桂林師范高等專科學校小學教育專業在校全科師范生。

（責編 楊 春）