基于光路補償的數字全息干涉法測量液相擴散系數

黃子珊，林佳茂，翁佳炫，鄧軍燦，陳俊旭，彭 力, 2, 3

(1. 華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006；2. 華南師大(清遠)科技創新研究院有限公司，廣東 清遠 5115173；3. 華南師范大學 物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510006)

液相擴散系數在化工、煉油、生化、制藥環保等領域中有著重要的作用[1]，如何有效測量液相擴散系數有著重要的意義. 目前，測量擴散系數的方法有膜池法[2]、毛細管法[3]、Taylor分散法[4]與光干涉法[5]等. 但上述方法有操作時間長、精度較低、較難讀取數據等不足之處. 由此，本文以光干涉法為基礎，應用數字全息技術來測量兩種不同溶液間的擴散系數，使用CCD相機對得到的干涉條紋進行記錄，并通過Matlab軟件對數據進行處理，得到所需的液相擴散系數. 此外，在原有的Mach-Zehnder干涉光路中，本文添加了與擴散槽尺寸材質等完全相同的補償槽，添加光路補償后的干涉條紋明暗襯比度顯著提高.

1 理論分析

1.1 擴散原理

在各向同性材料中，單位時間內通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質(稱為擴散通量Diffusion flux，用J表示)與該截面處的濃度梯度(Concentration gradient)成比例，即[1]

(1)

式中C為物質的濃度，z代表擴散方向，D為擴散系數，負號表示擴散方向與濃度梯度方向相反.

本文中的擴散體系高度遠大于長寬，擴散可看作僅在豎直方向中進行，即擴散為一維z方向擴散.圖1中擴散體系為一個長方體體積元，其邊長分別為2dx、2dy、2dz.

圖1 擴散體系

設長方體的中心P(x,y,z)，該點處的溶質濃度為C，溶質由下表面擴散到體積元的速率為

(2)

溶質由上表面擴散到體積元的速率為

(3)

(4)

體積元中擴散溶質的增加速率還可以表示為

(5)

結合式(4)和(5)，可得

(6)

將式(1)代入式(6)中可得

(7)

當擴散可看做是一維時，在初始時有較為明顯的分界面. Turchiello R F等人求解式(7)后，可得擴散槽中自由擴散的濃度分布為[6]

(8)

其中C1、C2為兩個不同溶液的濃度.

1.2 水平條紋判讀法

溶液的濃度變化會改變其折射率，進而改變其透射光的光程差(或相位差).在本實驗中，物光波的相位差就是由于折射率變化引起的.相位差變化為

(9)

其中L是擴散體系的厚度，λ是激光的波長，而Δn(z,t1,t2)則是在擴散體系z位置t1、t2時刻之間的折射率變化.

在較小的濃度變化范圍，折射率可視為線性變化的[7]，可得

(10)

其中(dn/dc)0是折射率對濃度的導數，在小濃度變化范圍內可以視作常數，n0為常數.

將式(10)代入到式(8)中，折射率之差的分布可以表示為

Δn(z,t1,t2)=

(11)

對式(9)求導并使其等于0，可得到濃度變化的極值點.

(12)

在相位差分布曲線圖(如圖5)上存在兩個極值點，設在z方向坐標分別為zA和zB.

由式(11)和式(12)可得

(13)

由式(13)可推導出液相擴散系數的表達式為

(14)

其中Δz=zA-zB.

在獲得不同時刻的干涉圖像后，將兩幅不同時刻再現的物光波前作點除運算，利用郭盈等人的全息圖樣處理方法[8]得到濃度變化最大值之間的距離Δz后即可由式(14)計算出液相擴散系數.

1.4 數字全息的實驗條件

全息圖的光強分布由4個分量所決定，對其做傅里葉變換，可得到全息圖的空間頻譜為

G(ξ,η)=C1(ξ,η)+C2(ξ,η)+C3(ξ,η)+C4(ξ,η)

(15)

若物光波分布為有限帶寬，其最高空間頻率為fmax，帶寬為2fmax.其中C1是在頻譜平面坐標原點上的一個δ函數，C2是物光波頻譜分布的自相關函數，帶寬擴展到為4fmax，C3和C4分別表示物光波的±1級頻譜，其中心分別位于±f0處，帶寬為2fmax[1].為了提取物光場，應使C2、C3、C4互相不重疊，即需要滿足條件

(16)

θmin=arcsin(3fmaxλ)

(17)

當物參夾角大于θmin時，可以在頻譜面上濾掉C2、C3和C4分量，僅將C3提取出來，對該分量進行傅里葉變換，可以重現全息圖平面上的物光波前.

物參夾角的確定除了需要滿足物光頻譜信息分離條件外，干涉條紋間距還需要滿足大于CCD的分辨率的條件. 根據奈奎斯特采樣定理，為了準確恢復干涉強度分布函數，每一個干涉條紋周期必須大于兩個CCD像素周期，即

δx≥2ΔxH,δy≥2ΔyH

(18)

干涉條紋的空間頻率由物光和參考光之間夾角決定，最小條紋周期對應的物光夾角為

(19)

其中，δmin為最小條紋周期，θmax為最大物參夾角.

由于物參夾角一般較小，所以sinθ≈θ，由此可得到物參夾角范圍為

(20)

綜合式(17)和式(20)，可以得到數字全息干涉的有效物參夾角需要滿足的條件為

(21)

物參夾角存在一個最佳值，在這個物參夾角的情況下，所能記錄的物波頻譜達到最大.其中fcx=1/(2ΔxH)為所能記錄的最大頻譜，當f0=3dfcx/4，記錄下的物波頻譜達到最大，即

(22)

(23)

將實驗中CCD照相機尺寸ΔxH=5 μm和λ=520 nm代入上式，得到最佳物光夾角為2.2351°.在實驗中，可以通過調節圖2中的平面鏡角度來調節物參夾角使之達到最佳角度.

2 實驗裝置

如圖2所示，實驗裝置由左至右分別為520 nm固體激光器、擴束鏡、擋光板、反射鏡與半透半反鏡、擴散槽、補償槽和工業CCD相機.

圖2 實驗裝置圖

液相擴散在擴散槽中進行，槽內下半部分裝有錐形整流柵，可減湍流和返混對實驗測量的影響，使擴散穩定進行.

為了提高明暗條紋的對比度，實驗光路中添加了與擴散槽完全相同的補償槽. 補償槽可以補償光程，使參考光和物光的光強大致相等，從而提高干涉條紋明暗對比度.

將CCD工業相機與計算機相連，將實驗獲得的干涉條紋導入計算機后，經處理便可得到相應的擴散系數.

3 實驗數據處理

本文采用的圖像處理方法思路如圖3所示.

圖3 圖像處理方法思路

采集不同時刻的干涉圖樣，對圖樣進行小波去噪，濾除噪聲的同時保持干涉條紋細節，從信號中提取信息. 經過矩形窗口頻域濾波，濾除掉參考光的直透部分、物體各點的自相關以及物體各點之間的互相關項和原始物光波前共軛像的頻譜，保留原始物光波前的頻譜，將該頻譜經過逆傅里葉變換轉換到空間域，得到包含擴散進行程度信息的物光波[9].

利用不同時刻的兩幅物光波中的相位信息，求得包裹相位差. 對包裹的相位差進行二維解包裹運算后可得連續的相位差. 判讀出擴散方向上濃度變化極值點間的垂直距離，代入式(14)后可計算得到質擴散系數值.

4 實驗結果與討論

4.1 25℃時0.1 mol/L蔗糖水溶液擴散系數

使用濃度為0.1 mol/L的蔗糖水溶液作為樣品，在25℃下進行實驗，利用CCD工業相機得到不同時刻干涉圖樣. 圖4為不同時刻的蔗糖水溶液干涉圖樣.

圖4 不同時刻蔗糖水溶液干涉圖樣

經過最小二乘解包裹算法后得到連續的相位差(圖5)，進一步可得到峰-峰值距離Δz.

圖5 連續相位差圖

表1 25℃時0.1 mol/L蔗糖水溶液擴散系數

記錄多組不同時刻的干涉圖樣，利用Matlab對每組干涉圖樣進行圖像處理，得到峰峰值距離Δz，再根據式(14)計算出每組干涉圖樣所對應的擴散系數，實驗結果如表1所示，可得擴散系數的平均值為5.815×10-5cm2s-1. 在25℃下0.1 mol/L的蔗糖水溶液擴散系數理論值為5.694×10-5cm2s-1[10]，實驗所得擴散系數與理論值的百分誤差為2.121%.

4.2 光路補償對于實驗的影響

如圖6所示，在未加入補償槽時，干涉圖樣明暗條紋對比度低，條紋模糊不清. 添加與擴散槽尺寸相同的補償槽后，實驗圖像明顯清晰了許多.

圖6 補償槽加入與否的干涉圖樣對比圖

在后期數據處理時，明暗條紋襯比度不夠會使Matlab識別產生偏差，干涉圖樣模糊的圖像在圖像處理后得到的連續相位差圖波動較多，更難判別濃度變化極大值點. 光路補償后的干涉圖樣襯比度高，提高了圖像處理的精度.

分析實驗的各個影響因素，實驗誤差主要來源于以下幾個方面：實驗時，注液速度過快等會使擴散體系內有湍流產生，濃度變化過大時濃度與折射率關系不再呈線性，實驗精度將受到影響；用CCD工業相機采集全息干涉條紋時，人員走動和外界振動等干擾因素會導致干涉條紋圖的微弱振動，這將一定程度上影響干涉條紋的質量；室內、外雜光的影響會使條紋的調制度降低，對后續的處理帶來影響，降低數字圖像處理結果的準確性；空氣的溫度、濕度和氣流的變化都可能會對干涉光路造成影響，從而使得實驗精度下降.

4 結束語

本文基于光路補償的數字全息干涉法測量液相擴散系數，利用生活中易得的低功率激光器，搭建了操作簡單、成本低、安全性高的裝置. 在對擴散系數進行測量的同時還定性分析了擴散系數測量的影響因素，在接下來的工作中，可以建立數學模型對其進行定量的分析，討論抖動、注液速度快慢等對于擴散系數測量的影響，從而提高擴散系數的測量精度.