半球面上的電荷量有多大？

邱為鋼

(湖州師范學院 公共教研部，浙江 湖州 313000)

《電動力學題解》(第2版)[1]中有這樣一道經典的求電勢分布的題目(編號2-24)，在半徑為R的球面上，兩半球面都是等勢面，且電勢互為相反數，求球內外空間各點的電勢.文獻[1]給出了電勢的具體表達式，但是沒有進一步求球面上的電荷密度和半球面上的電量.本文想回答這個問題，這個有限面積球面上的電量到底有多大？

1 全空間電勢的求解

先簡要推導電勢的求解，具體細節可參考文獻[1,2].由于體系的對稱性，可以直接寫出球內外的電勢的表達式：

(1)

(2)

這種電勢的表達式滿足拉普拉斯方程，且在球面上連續，滿足電勢在球面內外的連續條件.在球面上有

(3)

利用勒讓德函數的正交性，得到展開系數Cl的積分表達式

(4)

其中l為奇數，文獻[1]給出奇數項系數表達式為

(5)

2 半球面上電荷量計算

從電勢的勒讓德函數求和表達式(1)和(2)，得到球內外兩側電場徑向分量的表示：

(6)

(7)

由高斯定理，球面的電荷密度等于這兩者之差再乘以真空介電常數，即

(8)

對半球面積分，就得到電荷的表達式

(9)

把式(8)和式(4)代入式(9)，做變量代換x=cosθ，計算得到

(10)

再利用式(4)，得到半球面上電荷量的無窮求和式

(11)

這個無窮求和沒有解析表達式，雖然有可能有多重積分表達式(便于數值計算).先看一下這個無窮求和是收斂還是發散，需要確定當n趨向無窮大時，系數C2n+1的漸近展開式.首先把(5)式中的雙階乘表示為以下連乘形式：

(12)

然后利用伽瑪函數比值的乘積公式：

(13)

得到系數絕對值的表達式：

(14)

由對數伽瑪函數的漸近展開式[3]：

計算得到

再利用以下漸近展開式：

得到系數絕對值式(14)對數的漸近展開式：

由此得到電荷求和表達式(11)中的通項有這樣的漸近展開式：

(15)

由高等數學中數列斂散判斷法則，式(11)中無窮求和是發散的，即半球面上的電荷量是無窮大.

3 結論

為了維持兩個半球面上相反且有限大小的電勢，不僅兩個半球面相互要絕緣，理論上必須給半球面輸入無窮大的電量，這是不可能實現的．但是球面上總的電荷量為零，所以需要一個可以無限能量供應的精靈，在赤道上隨時抽出大小相等符號相反的電荷，分到兩個絕緣的半球面上，無限長時間后，才能達到兩個半球面分別等勢.