磁致旋光效應的電動力學解釋

肖添寧，王拴虎

( 西北工業大學物理科學與技術學院，陜西 西安 710129)

1845年，法拉第經過長期艱苦的工作，首次觀測到了光與磁的相互作用——磁致旋光效應[1].這表明，除了某些各向異性的旋光介質能夠對線偏振光的偏振面進行旋轉之外，對各向同性介質施加外磁場，也會出現同樣的旋光效應.近幾年，隨著激光和光電子技術的不斷發展，磁致旋光效應的應用更加廣泛，例如磁光調制器、磁光隔離器、磁光開關、磁光環形器等[2,3].

1 介質的各向異性

1.1 電子的運動方程

首先，在介質內部建立O-xyz空間直角坐標系，設外加勻強恒定磁場B0沿著z軸方向，將電磁波的高頻電場E作為參考矢量，且僅考慮電磁波沿z軸方向傳播的情況.根據電子受到的洛倫茲力，電子的運動方程為

(1)

注意，上式中電子電荷的負值已經包含在q當中了.為了方便分析[6]，通常設電磁波中電場隨時間諧變，從而有E=E0e-iωt；同時，電子的運動可看作是在諧變電場E下的受迫振動，從而電子的速度可表示為v=v0e-iωt.考慮到電磁波沿著z軸方向傳播，故Ez=0，從而僅分析x和y方向上的各個物理量.將上述關系代入式(1)得到

(2)

(3)

不難看出，式(3)的張量矩陣與SO(2)平面旋轉矩陣的結構相似，即對角元素相同，副對角元素互為相反數，這種相似性說明體系具有旋轉特征的可能性.此外，當外磁場B0=0，副對角元素為0，矩陣與單位矩陣的結構相似，從而預示著體系回到簡并的情況，即各向同性的情形.

1.2 相對介電張量

本節將介質分為電介質和導體分別進行討論.

1.2.1 電介質

對于電介質，在電場的作用下會發生極化現象，故考慮極化強度，并將其與電場E0的關系推廣到張量形式[8]

P0=ε0χeE0=neqr0

(4)

其中χe為電極化率張量，ne為電子數密度.

根據式(1)，也可解出r0的表達式，不難得到其與速度v0的關系為

(5)

再根據電極化率χe與相對介電張量εr的關系，并聯立式(3)—(5)得到

(6)

其中I為單位矩陣，且有

1.2.2 導體

對于導體，電場會使電子定向移動，形成電流，故考慮歐姆定律的微分式，并將之推廣到張量形式[8]:

J0=σE0=neqv0

(7)

其中σ為電導率張量.

(8)

上式將電流納入到介電張量當中，由此定義出等效相對介電張量ε′r:

(9)

聯立式(3)(7)(9)，并考慮到導體沒有極化現象，滿足εr=I，從而得到

(10)

可見，電介質的相對介電張量和導體的等效相對介電張量的數學形式完全一致，因而可以統一進行分析.

2 本征態的導出

本節直接使用等效相對介電張量ε′r，當考慮電介質時，只需令電導率σ=0即可；當考慮導體時，令εr=I即可.

2.1 頻域麥克斯方程組

(11)

注意，上式由于ε′r已經包含電流項了，所以根據電流連續性方程，第一式中的自由電荷項也已經包含在等式左邊，從而等式右邊為0.

由于所考察的物理量涉及動量，因而考慮(11)在傅里葉空間的形式.對方程組兩邊同時進行傅里葉變換.此外，考慮到磁致旋光介質通常為非鐵磁性物質[1]，故默認μr≈1，得到

(12)

2.2 求解本征態

對(12)的第二式兩邊同時左叉乘波矢k得到

k×(k×E0)=ωμ0(k×H0)

(13)

式(13)左邊由A×(B×C)=B(A·C)-C(A·B)式，以及橫電磁波的性質k·E0=0，得到

k×(k×E0)=-k2E0

(14)

式(13)右邊利用式(12)中第四式進行代換，得到

ωμ0(k×H0)=-ω2μ0ε0ε′rE0

(15)

根據 (13)左右相等得到

ω2μ0ε0ε′rE0=k2E0

(16)

從而化歸為本征值問題，不難求得(16)的本征值和本征向量.

當B0≠0時，ε2≠0.解出兩本征值不相等，稱為右旋波矢和左旋波矢:

(17)

相應的本征向量, 稱為右旋基矢量和左旋基矢量:

(18)

這便是磁場對體系產生影響而退簡并的結果，所產生的右旋和左旋波矢大小不同，使得線偏振電磁波在通過介質時，偏振面發生旋轉，即磁致旋光現象.由于這種旋轉的方向僅依賴于外磁場的方向，如果對時間反演，旋轉的方向仍和反演之前相同，但傳播方向與之前相反，從而打破了時間反演不變性，即光路不可逆.詳細的定量討論將在下一節進行.

2.3 討論與近似

現在討論一束沿z軸傳播的電磁波，經過距離l后，偏振態的變化.

設入射之前的偏振態為

(19)

當經過距離l之后，偏振態變為

(20)

利用{eR,eL}與{ex,ey}的關系，以及歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ可將式(20)化為

(21)

由此可看出，經過l的距離，電場角度變化為

(22)

由于磁場B0不太強[1]，將式(22)對磁場展開，得到

(23)

此即磁致旋光效應的經驗公式[7]，V為韋爾代常數.

可見，角度變化量Δθ除了和外磁場B0成正比以外，還和ωp有著密切的關系，當ωp增大時，角度變化量往往也隨之增大，進而退簡并效果也更加明顯.至于更加詳細的討論，還需要借助量子力學對塞曼效應進行分析.

3 結論

綜上所述，利用電動力學的方法，可以更加嚴格且簡潔明了地解釋磁致旋光中右旋和左旋兩種本征態的來源.同時，考慮到弱磁場近似下，還可得到磁致旋光效應的經驗公式，其韋爾代常數的表達式與量子理論得出的結果基本一致[3]，這也驗證了此方法的正確性.