從媒質受力分析其電極化響應與磁化響應的兩種等效描述

潘 銳，聶鑄陽，林 方，姚 欣，王 磊，張瀟瀟，唐 禹，紀智宏，聶 婭，余 天，龔 敏

(四川大學 物理學院,四川 成都 610065)

通常力的概念在電磁理論中并不突出，但這并不表示力及相關現象在經典宏觀電磁場理論中不重要.從歷史上看，電學和磁學分別發端于人們對摩擦后琥珀吸引輕小物體與磁鐵礦吸引鐵制物體的直觀觀察[1]，安培提出“電-動力學”(Electro-dynamics)的本初含義就是研究“動電”之間相互作用力規律的科學[2]；麥克斯韋方程組是電磁場時空演化的完備規律，但真正將經典宏觀電磁理論推上理論最高峰的卻是以洛倫茲力公式為核心內容之一的經典電子論[3].

經典宏觀電磁理論主要的研究對象是具有空間彌散特性的特殊物質——電磁場.在大學經典宏觀電磁理論課程的教與學中， “場”的概念始終處于突出地位，但電磁場作用力實則仍關系著經典宏觀電磁理論的基礎.舉例而言，經典宏觀電磁場是借由其對帶電體的作用力而定義的[4, 5]：慣性系中靜止的帶電體感受到的由另一帶電體引起的作用力是為電場力，當該帶電體發生相對運動時其還可能感受到與相對運動速度有關的額外作用力，這就是磁場力，即

F=FE+FB=QE+Qv×B

(1)

這也就是洛倫茲力公式，其中FE=QE是電量為Q的帶電體受到的電場力，E刻畫了空間此處的電場稱為電場強度；FB=Qv×B是電量為Q以速度v運動的帶電體所受磁場力，B刻畫空間此處磁場稱為磁感應強度.又例如，帶電體受洛倫茲力作用，其速度大小和方向均可能改變，容易由力學動量定理與動能定理得到

(2)

(3)

本文從媒質電磁場作用力的角度考察簡單媒質兩種重要宏觀電磁響應——電極化與磁化——的兩種等效描述，基于簡單媒質受到的電場作用力在極化電荷分布和電極化強度兩種電極化描述下相等以及簡單媒質受到的磁場作用力在磁化電流分布與磁化強度兩種磁化描述觀點下相等，提供一種分析極化電荷密度與電極化強度間關系以及磁化電流分布與磁化強度間關系的新方法，證明極化電荷分布與極化強度，以及磁化電流密度與磁化強度分別是簡單媒質電極化與磁化的兩種等價描述.

1 媒質的電極化和磁化響應的等價描述

媒質是有限空間內以實物粒子(或稱“分子”)構成的物質.在經典宏觀電磁理論中，分子具有內部電磁結構且不顯示量子波動性.媒質宏觀電磁響應是分子在外電磁場作用下微觀電荷和/或電流分布調整的宏觀表現[9-11].媒質宏觀電磁響應主要有電傳導、電極化與磁化.簡單媒質是均勻、線性且各向同性的媒質.在慣性系中相對靜止的簡單媒質的上述三種電磁響應能力可由標量電磁參數：電導率、電極化率和磁化率分別獨立描述.我們以下著重考察簡單媒質在外電場作用下的電極化響應和在外磁場作用下的磁化響應.

1.1 媒質電極化響應的兩種等價描述

簡單媒質即使不含大量可自由運動帶電粒子也可直接對外電場做出電磁響應.一方面，非極性分子原本重合的正負電荷中心不再重合，正和負電荷中心分別沿著和背離此處電場方向發生微小移動并使媒質分子具有電偶極矩，此稱為感應極化；另一方面，極性分子固有電偶極矩獲得增強并轉向外電場方向，稱為取向極化.可見，在外電場作用下媒質的電極化響應微觀上是其分子具有了沿外電場方向的分子電偶極矩pi，其宏觀效果是媒質整體顯現非零電偶極矩.顯然地，單位體積媒質具有的電偶極矩是其電極化響應的自然量度，稱為電極化強度，即

(4)

從上述媒質電極化的電偶極子描述出發，利用給定的電偶極子在外電場E0中受到的電場力普遍形式[6-8]：

(5)

(6)

這里積分區域V是媒質所在空間.利用矢量積分恒等式

(7)

不難得到

(8)

其中面積分邊界S為媒質外表面，ds=dsen，en是媒質表面處法向單位矢量.注意到簡單媒質所受電場力普遍形式：

(9)

其中dq由體電荷密度ρ、面電荷密度σ或線電荷密度λ等具體電荷分布決定.式(8)表明簡單媒質在外電場E0中因電極化而受到的作用力總可等效為外電場E0對媒質上述兩種等效電荷分布作用的合，即

(10a)

(10b)

(11)

故由式(4)～(6)可知由極化電荷體密度ρP和極化電荷面密度σP共同確定的P就是簡單媒質響應外電場而具有的電極化強度.

綜合上述兩方面，在簡單媒質的電極化響應描述中，用極化電荷分布ρP和σP的描述與直接采用電極化強度P的描述是等價的.

1.2 媒質磁化響應的兩種等價描述

一切媒質都能對磁場發生響應.從安培分子環流模型出發，構成簡單媒質的分子具有環形電流i稱為分子環流，其環繞區域的面積為a，換言之，每個媒質分子可視為一磁偶極子，其磁偶極矩按定義為

(12)

無外磁場時，微觀上媒質各分子的分子環流繞行方向隨機取向，其宏觀統計平均為零，媒質不顯現宏觀磁效應；在外磁場作用下，媒質分子環流繞行方向沿外磁場取向，使得媒質顯現統計平均非零的宏觀磁矩，此即媒質的磁化響應.顯然，給定體積媒質的宏觀磁偶極矩是媒質磁化響應狀態的自然量度

(13)

稱為磁化強度.

與媒質電極化類似地，從上述媒質磁化的磁偶極子描述出發，利用給定的磁偶極子在外磁場B0中受到的磁場力普遍形式[6-8]

(14)

可得媒質因磁化而受到的磁場作用力為

(15)

注意到媒質區域V的體積分與媒質外表面S滿足關系

∮Sds(B0·M)

(16)

而

(17)

利用矢量三重叉乘關系，(a×b)×c=b(c·a)-a(c·b)，可得

∮S(M×ds)×B0=∮S[ds(B0·M)-M(B0·ds)]=

∮Sds(B0·M)-∮SM(B0·ds)=

(18)

也即有

(19)

(20)

因為我們只需考慮此處媒質受彼源產生的外磁場B0作用，故有[7]

(21)

換言之，此時在媒質區域我們得到

(22)

對照于簡單媒質受磁場力普遍形式

(23)

不難發現簡單媒質在外磁場中磁化受到的作用力可以等效為外磁場對簡單媒質因磁化而具有的兩種電流分布的作用，即

(24a)

(24b)

(25)

再注意到 式(13)—(15)可知體磁化電流密度jM和磁化電流面密度kM共同確定的M就是簡單媒質因響應外磁場而具有的磁化強度.

可見，在簡單媒質的磁化響應描述中，采用磁化電流分布jM和kM的描述與直接采用磁化強度M描述兩者是等價的.

2 討論

此外，現行多數教材基于媒質理想化幾何模型的思路推導通常需分兩步：先由媒質理想化幾何模型導出電極化強度與極化電荷體密度以及磁化強度與磁化體電流密度的微分關系式，即

(26)

(27)

再考慮在邊界處積分方程得到極化電荷面密度與電極化強度以及磁化電流面密度與磁化強度局域關系

σP=en·P

(28)

kM=-en×M

(29)

這里從媒質受力效果出發，我們提供了一種直接獲得極化強度與極化電荷密度、磁化強度與磁化電流密度完備關系的方法，無需額外討論媒質內部與邊界區別，更加直接明了.

最后，本文提供的方法側重于公式物理含義解析較少借助理想模型的具體分析，雖對數理基礎提出較高要求, 但在教與學實踐層面能更充分展現電磁理論課程“從公式中讀物理”的自身特點和訓練要求,對開拓學生思路也具有一定參考價值.

3 總結

電場對電荷產生力的作用，磁場對電流產生力的作用，這是電磁場的基本性質之一.本文由此出發，分別考察媒質在外電場和外磁場下的受到的電場力和磁場力，分別獲得了電極化強度與極化電荷分布以及磁化強度與磁化電流分布的等效關系.該方法較少借助媒質微觀結構的理想化幾何模型，并在獲得極化電荷體密度和磁化電流體密度的同時可以直接獲得界面處的極化電荷面密度和磁化電流面密度.