二維渦流的反饋與操控

劉皓天，馮杰成，康現偉

(1. 北京師范大學 物理學系，北京 100875；2. 北京師范大學 核科學與技術學院，北京 100875)

電磁渦流是最常見的電磁感應現象之一，在電子電氣工程領域有著重要的地位和廣泛的應用，但在精度和適用范圍方面都存在著許多局限.通過對其物理本質的探索和近些年來材料領域的飛速進步，人們認為渦流在不同領域還具備更大的潛力.

1 渦流探測的唯一性證明

渦流探傷可以說是渦流最重要的應用之一，其正確性由這一類“逆問題”的唯一性所保證.其中，最受人關注的是“對于一個反饋信號,被探測物體是否只存在一種電磁結構？”倘若答案是否定的，那么這樣的探測方法必定會受到很大的局限.

想要回答這個問題，首先要回答“是否存在一種電流，其外部產生的磁場為0？”這樣的情況的確存在.1910年，Ehrenfest[1]首先提出了該想法，并做出了初步數學驗證.1989年，Gamliel, Kim, Nachman和Wolf[2]給出了一個十分有用的結論：有界源在區域A分布，形成的電磁場滿足

(1)

其中，q(r)表示隨r衰減的源函數.

式(1)的解為[3]

(2)

積分區域為A.

當源q(r)在外界區域B不產生電磁波輻射時，一定滿足邊界條件

u(r)|r∈S=0

(3)

(4)

其中，S表示A和B的邊界，如圖1所示.即在邊界處，若源產生的場平滑地趨于0，這個源是不會在區域B發出輻射的.設總磁場H(r,t)為

H(r,t)=Hi(r,t)+Hr(r,t)

(5)

其中，Hi(r,t)表示激勵磁場，由檢測探頭上的交流電產生，可令被探物體產生渦流，該渦流對應上文提及的有界源.Hr(r,t)表示反饋磁場，由被探物體的渦流產生，作為探測信號由檢測探頭接收.

圖1 邊界S示意圖

渦流擴散方程

(6)

其中，μ(r)表示為磁化率，σ(r)表示電導率.初始條件為

H(r,0)=Hi(r,0)

(7)

令H(r,t)=H(r)eiωt，方程(6)可化簡為

(8)

令k2=-iω

(9)

(10)

將式(5)代入式(10)得

(11)

(12)

式(12)與(1)類似，其解可寫為

(13)

積分區域為A.當μ(r)、σ(r)為常數，即F(r′)為常數時，Hr(r)|r∈S≠0.因此，渦流在區域B中會產生反饋磁場.而當μ(r)、σ(r)不為常數時，渦流產生的反饋磁場在邊界S處有平滑地趨于0的可能.

由于渦流探測最主要的用途是對大型金屬原件探傷，通常面對的材料都是各向同性的，因此不存在上文提及的在外部產生磁場為0的電流.現在，假設在外部產生磁場為0的電流I′r存在.當被探物體的電磁結構改變，激勵磁場Hi引起的渦流由Ir變為Ir+I′r時，而在外部產生的反饋磁場Hr不變.即導致一種反饋磁場對應兩種電磁結構，唯一性被破壞.然而，當在外部產生磁場為0的電流不存在時，唯一性得到保障.

2 渦流探測在工業應用

在工業應用中，通過監測渦流在樣品中的變化可以來探測樣品的各種性質：電導率、硬度，是否有裂痕，區分純材料和合金等.

2.1 渦流探測原理

工作原理為檢測探頭通入交流電，由于電磁感應在樣品中形成渦流，渦流再次形成反饋磁場，對探頭的阻抗產生影響.監測探頭阻抗的變化即可實現對樣品的檢測[4].設未受影響時的探頭阻抗為

Z0=R0+i2πfL0

(14)

其中，R0表示電阻，i表示虛數單位，f表示測試頻率，L0表示探頭電感.受反饋磁場影響后的探頭新阻抗為

Zc=Rc+i2πfLc

(15)

Rcn>Rcn+crack，Lcn

這是因為當樣品中有裂痕時，會阻礙渦流，導致生成的反饋磁場減小，使得阻抗實部減小；激勵磁場和反饋磁場的疊加之和增大，使得阻抗的虛部增大.

2.2 趨膚效應對渦流探測的影響

在工業運用中，考慮到趨膚效應，通常會通過改變測試頻率來適應不同的檢測材料.

(16)

其中，J(z)表示樣品深度為z的電流面密度，Jmax表示樣品表面最大電流密度，δ表示標準滲透深度，α0表示為初始相位，ex表示電流方向.

(17)

其中，ω=2πf.由式(17)得，測試頻率越低，電磁探傷可以達到的深度就越大.

2.3 電導率、磁導率對渦流探測的影響

在工業應用中，對于電導率高的樣品，產生的渦流強度更高，導致探頭接收到的信號電平更高.有助于分辨究竟是由于材料自身厚度不均導致的信號變化，還是材料自身存在裂痕導致的信號變化.但是由式(17)可知，高導電率樣品的標準滲透深度δ較小，能夠檢測的深度有限.

鐵磁材料由于磁導率變化大，對渦流會產生較大影響，導致檢測難度增大.可以通過平均化磁導率來降低不均衡磁導率的影響.將樣品足夠靠近通入大電流的磁化盤，使樣品磁化即可.

3 渦流操控

渦流在工程上的重要性不言而喻，利用相關原理的設計也是應用廣泛.因此，如果能夠實現對渦流的操控，例如在某一特定激勵磁場下，通過設計負載的屬性，令其產生符合人們預期的渦流，會對相關領域很有幫助.

渦流操控，很早就被應用于產品中.例如為了減小渦流帶來的損耗，變壓器的鐵芯經常由鋼片壓制而成，中間的空氣間隙有效地減弱了渦流.為了更加精細地操控，改變材料的磁導率和介電常數是最直接的方法[5].

首先，推導最基本的渦流方程.本構方程:

J=σE

(18)

B=μH

(19)

麥克斯韋方程組:

(20)

其中，ε表示介電常數.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

稱式(25)為渦流的擴散方程.同理，還可以得到關于電場的擴散方程

(26)

實際上這一方程只適用于電導率σ和磁導率μ為常數情況.完整描述導體中磁場的方程應該修改為[6]

(27)

做以下簡化：

2) 電導率σ和磁導率μ變化相對平緩，在高頻情況下，其梯度的變化相對于磁場強度隨時間的變化很小，忽略式(27)后面兩項;

3) 激勵磁場的邊界條件：固定頻率為ω的正弦場;

4) 考慮無窮大二維平面.

則得到了更加簡單的渦流方程:

(28)

令z=x+iy，方程寫成

(29)

設γ=μσ，做一次保角變換，令ζ=ζ(z)

(30)

通過在不同區域設計不同大小的γ，可以從z坐標系中的磁場變換到ζ坐標系中的目標磁場，實現對渦流的操控.以上只是簡略的數學近似，該方法只適用于借助對稱可以化為二維的系統.

另一種由Pendry[7]提出的方法可以適用于三維空間.本文將其應用在簡化的二維渦流上.假設新的坐標為q1(x,y)、q2(x,y),定義

(31)

作為簡寫形式.

由于麥克斯韋方程組的協變性，滿足方程組的解在新坐標下形式保持不變，只需將介電常數ε和磁導率μ改為張量形式(對應各向異性材料的情況).此時渦流擴散方程的形式會變得更加復雜，所以在這里做一個限定

J=σE

(32)

始終成立，即二者始終保持線性關系.在新的正交坐標系下，磁導率μ′qi，介電常數ε′qi為

(33)

(34)

磁場強度H′qi，電場強度E′qi變為

E′qi=QqiEi

(35)

H′qi=QqiHi

(36)

計算得到Qqi，帶入變換后的渦流方程中，便可理論上求得各個位置的磁導率和介電常數.這里嘗試計算幾個簡單的例子.

未進行任何操作時，在均勻介電常數、磁導率、電導率的材料上，渦流是對稱的圓形，如圖2所示.

圖2 未進行操作的渦流示意圖

如果希望渦流效應只產生在R1～R2的范圍，內部不會受到渦流的影響,如圖3所示.

圖3 范圍為R1～R2的渦流示意圖

(37)

(38)

(39)

(40)

在新的正交坐標r′、θ′中，按照式(37)—(40)求得的磁導率和介電常數設計樣品.得到的樣品在激勵磁場中產生的渦流將只分布在R1～R2的范圍.相似方法可以得到渦流效應只產生在0～R1的范圍，外部不會受到渦流的影響, 如圖4所示.

圖4 范圍為0～R1的渦流示意圖

這種操縱渦流的方法在理論上可以生成復雜的圖案.但圖案越復雜，材料的性質也越復雜.所以操控渦流的精度很大程度上取決于材料加工技術.

4 結論

本文論證了渦流探測逆問題的唯一性.研究了渦流探測在工業中的各種影響因素.理論證明了通過改變磁導率、介電常數，可以達到改變渦流形狀的目的.