矩形與圓形截面載流平行雙導(dǎo)體間安培力研究

張盛源，徐天福，郭芳俠

(陜西師范大學(xué) 物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710119)

在工程上，狹小的配電箱內(nèi)電力系統(tǒng)的母線(xiàn)為矩形截面以減小母線(xiàn)間的安培力.那么矩形截面載流導(dǎo)體間的安培力與截面尺寸有何關(guān)系？截面尺寸一定時(shí)，與放置方向有無(wú)關(guān)系？與同面積同電流的圓截面導(dǎo)線(xiàn)的安培力有多大的差異？要回答此些問(wèn)題，就要從導(dǎo)體周?chē)拇艌?chǎng)的分布開(kāi)始研究.關(guān)于截面形狀不同的無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)體磁場(chǎng)研究，文獻(xiàn)[1-3]討論了無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱面和圓柱體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，文獻(xiàn)[4]討論了無(wú)限長(zhǎng)截面為矩形和三角形的載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，但都缺乏磁感線(xiàn)分布的直觀圖像以及對(duì)不同截面平行載流雙導(dǎo)體間安培力的分析.文獻(xiàn)[5]雖有討論截面為矩形的載流導(dǎo)體間的作用力，但把導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)看成若干個(gè)無(wú)限大平面產(chǎn)生的磁場(chǎng)疊加，該模型不夠精確.本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律及安培環(huán)路定理，分別計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)截面分別為矩形和圓形的載流直導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，并利用Matlab模擬了磁場(chǎng)分布；隨后計(jì)算兩個(gè)矩形截面的載流導(dǎo)體間安培力和兩個(gè)圓形截面的載流導(dǎo)體間的安培力，并進(jìn)行對(duì)比分析.

1 矩形截面與圓形截面載流導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)的計(jì)算與模擬

對(duì)于銅導(dǎo)線(xiàn)，室溫下σ=5.9×107S·m-1，μ≈μ0=4π×107N·A-2.因而f=50 Hz時(shí)，δ≈9.4 mm；f=1000 Hz，δ≈2.1 mm，低頻下趨膚深度與電力系統(tǒng)導(dǎo)線(xiàn)線(xiàn)徑同數(shù)量級(jí)；從電流密度看，即便是1000 Hz的交流電，以圓柱導(dǎo)體為例，導(dǎo)線(xiàn)軸線(xiàn)和表面處的電流差別也不會(huì)很大.因而在低頻情況下趨膚深度效應(yīng)可以忽略，近似認(rèn)為電流在橫截面上均勻分布[7].

1.1 無(wú)限長(zhǎng)的矩形截面載流導(dǎo)體周?chē)艌?chǎng)

任意導(dǎo)線(xiàn)元M在P點(diǎn)的磁場(chǎng)dB及其分量如圖1所示.根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)的磁場(chǎng)公式[6]：

導(dǎo)線(xiàn)元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為

該磁場(chǎng)的x分量為：dBx=dBcosθ，其中

代入得

同理得y分量為

圖1 無(wú)限長(zhǎng)矩形截面導(dǎo)體周?chē)艌?chǎng)分析

由此可得整個(gè)載流導(dǎo)體的磁場(chǎng)分量可表示為

(1)

(2)

積分運(yùn)算得到無(wú)限長(zhǎng)的矩形截面載流導(dǎo)體在(x,y)處的磁場(chǎng)分量的表達(dá)式：

(3)

(4)

根據(jù)磁感線(xiàn)的定義，磁感線(xiàn)上每一點(diǎn)的切線(xiàn)就是該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，故在磁感線(xiàn)上取一段線(xiàn)元dl，它應(yīng)與B平行，故：dl×B=0.

由上式可得xy平面內(nèi)磁場(chǎng)線(xiàn)微分方程：

(5)

將式(3)、(4)代入上式，積分便可求得磁場(chǎng)線(xiàn)方程.在這里利用Matlab求得近似的數(shù)值解并繪制磁感應(yīng)線(xiàn).圖2(a)、(b)、(c)是假設(shè)b=1 cm，a分別取0.25 cm、0.5 cm、1 cm的磁感線(xiàn)分布.

根據(jù)圖像分析可得，矩形截面導(dǎo)體長(zhǎng)和寬的差異越小，導(dǎo)體形成的磁場(chǎng)線(xiàn)越接近于圓[圖2(c)]；長(zhǎng)和寬的差異越大，磁場(chǎng)線(xiàn)越來(lái)越扁[圖2(a)]，類(lèi)似于橢圓；若某一邊的長(zhǎng)度為無(wú)窮大，即導(dǎo)體變成有一定厚度的面積無(wú)限大的平面導(dǎo)體，其磁場(chǎng)線(xiàn)為平行于導(dǎo)體面的多條直線(xiàn)，這和電磁學(xué)的一般規(guī)律相符合.

圖2 無(wú)限長(zhǎng)矩形截面導(dǎo)體周?chē)鸥芯€(xiàn)分布

1.2 無(wú)限長(zhǎng)的圓形截面載流導(dǎo)體周?chē)艌?chǎng)

根據(jù)以上所述磁場(chǎng)的特點(diǎn)，由安培環(huán)路定理∮B·dl=μ0∑I[6]易知磁場(chǎng)表達(dá)式為

(6)

2 矩形截面與圓形截面載流雙導(dǎo)體間的作用力及分析

2.1 矩形截面無(wú)限長(zhǎng)載流雙導(dǎo)體間的作用力

為研究方便，在圖1磁場(chǎng)中置入電流為I′的無(wú)限長(zhǎng)同規(guī)格電流同方向的矩形直導(dǎo)體如圖3所示.考慮導(dǎo)體長(zhǎng)度為l的一段所受的磁場(chǎng)的作用力，設(shè)原點(diǎn)處的導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用在l上的安培力為Fr.設(shè)|OQ|=L,將導(dǎo)體段分為無(wú)窮多平行的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)元，其電流可表示為dI′=j′dxdy.再對(duì)導(dǎo)線(xiàn)元應(yīng)用安培力公式：

dF=Idl×B

(7)

圖3 矩形截面載流雙導(dǎo)體間的作用力

根據(jù)幾何關(guān)系將力分解為dFy=j′lBxdxdy和dFx=-j′lBydxdy，由對(duì)稱(chēng)性分析可知

(8)

因此長(zhǎng)為l的一段所受的安培力沿x軸負(fù)方向，大小為

Fr=|Fx|=?j′lBydxdy

將式(4)代入上式，并積分得

(9)

為了更直觀地了解當(dāng)矩形導(dǎo)體邊長(zhǎng)之比不同時(shí)，兩導(dǎo)體間安培力隨距離L的變化情況，設(shè)I=I′=1A、l=1 cm，導(dǎo)體截面積為1 cm2，分別取a=0.5 cm、0.8 cm、1 cm、1.2 cm、1.5 cm，計(jì)算相應(yīng)的b，作Fr-L圖線(xiàn)如圖4所示.

圖4 矩形截面載流雙導(dǎo)體間作用力Fr隨距離L的變化

由圖4可以看出，在電流密度和尺寸一定的條件下：橫截面的邊長(zhǎng)比a/b一定時(shí)，安培力隨著距離L的增大而減?。痪嚯xL一定時(shí)，a/b的值越大，安培力越小，所以配電箱內(nèi)兩矩形截面母線(xiàn)放置時(shí)應(yīng)使較長(zhǎng)的邊相對(duì)，這樣安培力小于同距離短邊相對(duì)時(shí)的安培力.

2.2 圓形截面無(wú)限長(zhǎng)載流雙導(dǎo)體間的作用力

兩無(wú)限長(zhǎng)同規(guī)格圓柱載流導(dǎo)體的位置，如圖5所示，設(shè)軸線(xiàn)間垂直距離為L(zhǎng)，電流密度分別為j和j′.考慮長(zhǎng)度為l的一段所受的作用力，設(shè)該段載流導(dǎo)體所受的安培力為Fc，建立柱坐標(biāo)系.

圖5 兩圓形截面載流導(dǎo)體間的作用力

把載流導(dǎo)體看做許多無(wú)限長(zhǎng)的平行直線(xiàn)導(dǎo)線(xiàn)元組成，P(r,θ)處的導(dǎo)線(xiàn)元所受的安培力大小為dF=j′lBrdrdθ.由圓截面導(dǎo)體對(duì)稱(chēng)性可知兩導(dǎo)體間總的安培力在垂直于極軸方向的合力F⊥=0，總的安培力方向平行于極軸，即

代入并積分可得

(10)

2.3 矩形與圓形截面雙導(dǎo)體間安培力的比較

令兩安培力表達(dá)式(9)、(10)中的j、j′、l分別對(duì)應(yīng)相等，作比值Fr/Fc

(11)

假設(shè)矩形與圓形導(dǎo)線(xiàn)橫截面積ab=πR2=1 cm2，作出Fr/Fc-L如下圖7所示.

圖7 Fr/Fc-L圖

該圖像表明兩種導(dǎo)線(xiàn)電流密度和尺寸對(duì)應(yīng)相同時(shí)，當(dāng)距離L越來(lái)越大，F(xiàn)r/Fc趨近于1；若L一定，F(xiàn)r/Fc隨著a/b的值變化：a/b<1時(shí)，F(xiàn)r/Fc>1，此時(shí)矩形截面導(dǎo)體間作用力大于圓形截面間作用力；a/b=1時(shí)，F(xiàn)r/Fc≈1，此時(shí)矩形截面導(dǎo)體間作用力近似等于圓形截面間作用力；a/b>1時(shí)，F(xiàn)r/Fc<1，此時(shí)矩形截面導(dǎo)體間作用力小于圓形截面間作用力.總體來(lái)看，a/b越大，F(xiàn)r/Fc比值越小.這就是為什么配電箱選用矩形截面導(dǎo)線(xiàn)進(jìn)行電流配送，而且放置時(shí)應(yīng)保證相對(duì)的邊長(zhǎng)度大于另一邊長(zhǎng)度.

3 結(jié)論

通過(guò)以上的理論計(jì)算得到了無(wú)限長(zhǎng)矩形、圓形截面通電導(dǎo)體周?chē)拇艌?chǎng)分布和平行雙導(dǎo)體間作用力的表達(dá)式，并在Matlab的輔助下進(jìn)行了模擬分析.得到如下重要結(jié)論：1) 矩形截面載流導(dǎo)體磁感線(xiàn)近似橢圓狀，在邊長(zhǎng)相等時(shí)近似為圓形；2) 電流密度和尺寸一定時(shí)，兩個(gè)矩形截面平行載流導(dǎo)體間的安培力與距離、邊長(zhǎng)比相關(guān)，邊長(zhǎng)比a/b越大，作用力越??；3) 在電流密度和尺寸相同時(shí)，與兩個(gè)圓截面間的作用力比較：當(dāng)a/b>1時(shí)，矩形截面間的作用力較圓形的小；a/b<1時(shí)，矩形截面間的作用力較圓形的大.根據(jù)這個(gè)規(guī)律，狹小的配電箱應(yīng)選用矩形截面導(dǎo)線(xiàn)，且放置時(shí)應(yīng)保證相對(duì)的邊長(zhǎng)較另一邊大,才能保證安全.