學具開發，助推學生的數學深度學習

張冠蘭

[摘? 要] 在小學數學教學中，教師要引導學生學會使用學具、開發學具。從“無”到“有”、從“殘”到“整”、從“仿”到“創”的學具開發，必將引發一場數學學習的深度變革。學具開發，能有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。學具開發，能有效地助推學生的數學深度學習。

[關鍵詞] 學具開發;助推學習;小學數學

“學具”是學生數學學習的重要輔助工具，是學生數學思考、探究的重要媒介和載體。在小學數學教學中，教師不僅要引導學生學會使用學具，更要引導學生學會開發學具。傳統的數學教學，教師往往運用現成的學具，這就遮蔽了學具本身的誕生過程。學生對學具的認知僅僅停留在操作層面上，而沒有上升到理解層面。換言之，很多數學學具，如直尺、量角器、圓規等，學生“知其然”，而“不知其所以然”。學具開發，不僅能助推學生理解數學知識，而且能助推學生的數學思維發展，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

一、從“無”到“有”：開發數學學具

每一個數學學具，都是人類生命實踐活動的智慧結晶。作為教師，應當對每一個數學學具的特點、結構、構造原理等有深度把握。只有這樣，才能有效引導學生開發學具。學具有高階和低階之分，低階學具如小棒、小圓片、小方塊、釘子板、幾何模型等，低階學具往往具有一種“齊性”。高階學具如鐘面、量角器、計數器等，高階學具往往具有一種“創意性”。從“無”到“有”，引導學生開發、創造學具，能激發學生的數學思維，催生學生的數學想象。

比如教學《長方體和正方體的認識》，筆者沒有按照慣常的方式，直接出示長方體、正方體，引導學生認識面、棱、頂點，而是給學生提供了結構性的素材（長度相等的幾組小棒），讓學生以小組為單位，做一個學具——“長方體”。在個體思考、群體研討的基礎上，學生選擇三組小棒，分別借助三通，將三組小棒共十二根聯結起來，建構成一個長方體的學具模型。通過這個模型，學生自然地認識到了長方體的棱、頂點的數量及特征等。在此基礎上，學生根據長方體中相交于同一個頂點的三條棱的長度，用剪刀剪出了三組相對的面，然后粘貼在長方體框架上，從而自主建構、創造出一個長方體模型。借助這個模型，學生認識了面的數量、特征等。相較于現實世界中的長方體，學生動手制作的長方體特征更為鮮明，更為典型，有助于學生認識長方體面、棱、頂點的名稱，探究長方體面、棱和頂點的特征。這樣一個從“無”到“有”的學具創造過程，能激發學生的數學學習興趣，助推學生進行數學學習小組的合作，從而讓學生形成對長方體本質特征、屬性的深刻認知。

從“無”到“有”開發學具，既能輔助學生的數學探究，引導學生自主建構知識，又能促進學生感受、體驗數學的意義。相較于現成的學具，創造的學具更具鮮活的生命力。比起現成的學具呈現，學生更需要親歷學具的制作過程。在制作學具的過程中，學生自然要研究學具的特征、結構原理等，從而深度理解、把握學具所蘊含的數學知識。作為教師，要引導學生大膽猜測、動手實踐，讓“學玩創一體”“做思學共生”。

二、從“殘”到“整”：修復數學學具

數學學具在使用的過程中，會不可避免地出現各種磨損、損壞的情況。作為教師，要引導學生對磨損、損壞的學具進行主動修復，力求恢復學具本來的模樣。在這個過程中，學生會主動地研究學具，深度地探究學具、思考學具。修復學具，可以因需改材，可以因序造材，可以因需創材。在數學教學中，有時教師要善于捕捉學生學具損壞的契機，引導學生積極思考、探究、建構和創造，從而助推學生的數學深度學習。

比如教學《認識厘米》這部分內容，在引導學生經歷了“厘米尺”的創造過程之后，筆者引導學生用自制的直尺測量物體、圖形的長度。在測量過程中，有學生的“雛形直尺”被弄斷了。由此，學生測量操作被迫停了下來。筆者捕捉到這一教學契機，向學生提出了這樣的一個問題：能否用殘缺的尺子測量長度？有學生認為，如果殘缺尺子的長度比測量對象的長度長，就可以測量，否則就不可以測量。有學生立刻表示反對，認為即使殘缺尺子的長度比測量對象的長度短，也可以一段一段地測量，然后將測量結果相加。這樣的教學打破了學生的固化操作、思維模式，打開學生的數學思維通道，讓學生的數學學習更加智慧和靈動。為此，筆者又向學生提出了這樣的一個問題：在一個直尺上至少要有幾個刻度，才能直接測量并計算20厘米以內的所有物體的長度？這樣的問題，激發了學生的創造性思維，學生對直尺模型進行刻度簡化，創造出了一種簡約化的直尺雛形。通過這樣的工具優化、創新，學生掌握到問題思考、探究的方法，更加深刻地掌握了相關的數學知識。對殘缺學具的加工、優化，能開發學生的數學思維，啟迪學生的數學創新。

從“殘”到“整”修復數學學具，不是簡單地將學具修復好，而是要引導學生對學具進行再加工、再創造。建構主義告訴我們，學生數學知識的建構過程，是無法由他人代替的，而必須經由學生親身經歷、感受與體驗。學具是引導學生經歷數學知識建構、創造的重要載體，它是輔助學生自主探究的工具，是促進學生思維提升的階梯。

三、從“仿”到“創”：優化數學學具

傳統的數學學具開發，往往就是教師引導學生經歷“原始學具”的制造過程。在這樣的過程中，學生往往只是重走人類工具制造的簡單歷程。高質量、高創造性的數學學具開發，不僅是工具的簡單模仿，更是工具的優化、創新。從“仿”到“創”，優化數學學具，能激發學生的創意，引領學生創新，讓學生真正成為一個“創客”。創造教育、創新教育、創客教育由此開始。

學具是架設“動手操作”與“動腦思考”的橋梁，在小學數學教學中，教師要引導學生在學具開發中學、玩、做、創、悟。比如教學《角的度量》這一部分知識內容時，很多教師都是引導學生主動地創造“量角器雛形”。在測量的過程中，有學生提出了這樣的疑問：每一次用量角器測量角的大小，將量角器的中心對準角的頂點，將量角器的零刻度線對準角的一條邊盡管比較簡單，但往往容易讀錯數據，將內外圈的刻度混淆，有沒有更簡單的、更保險的方法？對此，學生展開了深度交流、研討。有學生認為，可以先判斷這個角是鈍角還是銳角，然后對讀數進行審視、檢查，如果發現錯了，就讀量角器上的另外一個刻度;有學生認為，可以對量角器進行改良、創新，將兩圈刻度變為一圈刻度，這樣盡管將量角器的零刻度線對準角的一條邊可能會慢一些，但絕對不會發生刻度讀錯這樣的事。學生紛紛認為，這樣的方法可行。于是，有學生用修正液或修正帶將量角器的外圈或者內圈封掉一圈、保留一圈，從而讓量角器成為單向度的量角器，這樣就保證了測量角時刻度讀數的準確性。實踐證明，這樣的學具優化，有效地提升了學生數學學習的效能。這樣對學具進行改良、加工的過程，就是一個創造的過程。

學具開發為學生的數學學習打開了一扇門，不但能讓學生的數學學習具有挑戰性，更讓學生的數學學習具有現實性。學具的開發應當充分發揮學生的主體作用，讓學生的天性充分地釋放。開發學具，既要引導學生對學具進行改良，也要引導學生對學具進行創新。學具開發，必將引發一場學具創造、再創造的深度變革，從而推動學生的數學深度學習。在這個過程中，教師要將學生放置在主體地位，同時發揮好自身的主導作用，要讓學具開發成為提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養的重要載體和媒介。