走向結構：低年級學生數學基本活動經驗的積累

曹磊

[摘? 要] 積累數學結構性基本活動經驗，更有助于學生的經驗提取、經驗激活、經驗應用，等等。結構性知識是結構性活動經驗的根基，遷移性方法是結構性活動經驗的核心，學習性策略是結構性活動經驗的關鍵。通過結構性的活動經驗積累，能提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。讓學生的基本活動經驗走向結構，應當是小學低年級數學教學的至真追求。

[關鍵詞] 小學數學;基本活動經驗;經驗積累

小學數學教學，從某種意義上說就是要促使學生形成整體性、結構性、系統性的基本活動經驗。當下，許多教師的課堂教學尤其是低年級的課堂教學，盡管注重基本活動經驗積累，但卻是零散、瑣碎的，沒有結構性、系統性。積累數學結構性基本活動經驗，更有助于學生的經驗提取、經驗激活、經驗應用，等等。讓學生的基本活動經驗走向結構，應當是小學低年級數學教學的至真追求。

一、結構性知識：積累結構性活動經驗的根基

數學知識具有整體性、結構性特質。在小學數學教學中，教師要有意識地引導學生建構整體性、系統性、結構性知識。一般來說，低年級數學知識具有生長性，往往具有“種子”的特質。作為教師，要瞻前顧后、左顧右盼，從整體上把握知識結構。尤其是，教師要著眼于學生的可持續性發展，對相關的內容進行鋪墊。

從低年級開始，教師就應當運用美國著名教育家布魯納的“學科結構論”指引自己，立足于“高觀點”“大視角”來考量教學內容。引導學生掌握結構性知識，關鍵是要引導學生深刻領悟數學基本概念，把握概念的內涵與外延;引導學生把握概念之間的關聯，尤其是概念與概念之間的鏈接點、融合點等;引導學生明晰上位概念、下位概念等，助推學生建立概念體系，等等。比如教學蘇教版二年級下冊《有余數的除法》這部分內容，筆者不僅要引導學生深刻理解、掌握“余數”的概念，更要引導學生掌握“余數和除數的關系”。換言之，不僅要引導學生形成對概念的本質性認知，更要引導學生對概念形成關系性認知。教學中，筆者創設了兩個活動：一是讓學生用小棒擺三角形、四邊形、五邊形等。通過小棒總數不變，擺的圖形的變化，讓學生直觀地發現擺出的圖形的個數以及所剩下的小棒的根數的動態變化，從而幫助學生建立商和余數的概念，并初步認識到商、余數與除數的大小有關。二是讓學生用小棒擺三角形等，通過小棒總數的變化，讓學生直觀地發現擺出的圖形的個數以及所剩下的小棒的根數的動態變化，從而幫助其鞏固商和余數的概念，并初步認識到商、余數與被除數的大小的關聯性。這相當于兩個對比實驗，這樣的對比實驗充分調動了學生數學學習的積極性，發掘了學生數學學習的創造性。

結構性的知識教學，不僅著眼于數學概念的本質內涵，更著眼于數學概念之間的關系。在上述“有余數的除法”教學中，筆者不僅注重引導學生經歷“除數”“余數”的誕生過程，感受、體驗“除數”“余數”的本質內涵，更引導學生認識“余數與除數的關系”。這樣的教學，能幫助學生積累結構性的數學活動經驗，使得學生潛移默化地感悟到概念學習的方法，即不僅把握概念的本質內涵，更把握概念的關系內涵。

二、遷移性方法：積累結構性活動經驗的核心

小學數學教學，要幫助學生積累結構性活動經驗。其中，結構性知識的建構是根基，而遷移性方法的建構則是核心。遷移性方法，從某種意義上說，是學生可以“帶得走的知識”。遷移性方法是鏈接數學知識與數學思想的橋梁，是學生的數學探索的確證與表征。只有通過遷移性方法的教學，數學活動經驗的積累才是有效的。遷移性方法不是簡單模仿，更不是依樣畫葫蘆、濫竽充數等。

比如蘇教版一年級上冊的《20以內的進位加法》這部分內容，其教學重點一是要突出算法的多樣化，二是要突出算法的優化。因此，這部分內容不僅是后續口算的基礎，也是后續學習“20以內退位減法”的基礎。其中，最為重要的是要讓學生掌握“湊十法”，“湊十法”不僅有助于學生掌握20以內的進位加法，它更是后續簡便運算“湊整法”的基礎。如筆者在教學《9加幾》的過程中，從學生已有知識經驗出發，讓學生借助具有齊性特質的學具——小棒，自主建構算法。學生通過自主思考、探究，形成了“數數法”“湊十法”等算法。在深度比較、研究“湊十法”的過程中，學生不僅認識到“湊十”的方便、快捷，更通過觀察、比較、操作等，形成了“湊十法”的一般化操作思路。因此，聚焦于“湊十法”，就能讓學生感悟其本質內涵、操作方式。只有當學生掌握了“湊十法”，積累了相關的“湊十法”的方法經驗之后，學生在后續學習“20以內的退位減法”時，才能積極主動地遷移，從而建構出“破十法”的操作模型;只有當學生掌握了“湊十法”，積累了相關的“湊十法”的方法經驗之后，學生在后續學習“簡便運算”時，才能在加法交換律、結合律和分配律的運用中自覺地想到“湊整法”。顯然，“湊十法”之于學生的數學學習具有普遍性的功能和意義。

為了讓學生掌握遷移性方法，教師要引導學生感悟數學思想，用思想駕馭方法，從而讓學生能整體性、結構性地掌握數學知識。正如日本著名數學教育家米山國藏所認為，“在學校所學的數學知識，進入社會后不到一兩年就忘記了……，唯獨思想方法卻深深地銘刻在心里，并且時時刻刻發揮作用”。遷移性方法，就是學生基本數學活動經驗的核心組成，能對學生數學可持續性發展發揮重要作用。

三、學習性策略：積累結構性活動經驗的關鍵

積累學生結構性基本活動經驗，不僅需要讓學生掌握結構性知識，從而便于學生提取經驗、激活經驗;還需要學生掌握遷移性方法，從而便于學生的數學問題解決;而且更需要學習性策略。學習性策略，是積累學生結構性活動經驗的關鍵。正所謂“授人以魚不如授人以漁”，通過學習性策略，學生能夠積極地、主動地應用已有知識經驗。

學習性策略，不僅包括一般性的學習性策略，還包括特殊性、具體性的學習性策略。比如小學數學教材中的內容可以分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大板塊。這四大板塊的內容的學習策略就是不同的。因此，從低年級開始，教師就必須引導學生掌握相應板塊的學習策略。比如在學習《圖形與幾何》中的《角的初步認識》（蘇教版二年級下冊）時，筆者引導學生從“要素”入手，即從角的“頂點”和“邊”入手。這種“要素分析法”如果能種植在低年級學生的心中，對學生今后圖形的認識具有十分重要的意義。比如在長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形等線段圖形的認識中，學生就會主動地從邊、角兩個要素展開分析;在學習圓時，盡管沒有邊和角，但學生也會提取一些要素，比如從直徑、半徑、圓心等角度進行認知。因此，從某種意義上說，研究數學知識的策略比數學知識本身更為重要。在《角的初步認識》這一部分內容的教學中，筆者從角的研究要素入手，首先讓學生研究角的外顯特征，對角進行靜態描述，即“從一點引出兩條射線”;接著對角進行動態刻畫，即“一條射線繞端點旋轉”。通過動態性的描述，能為學生后續比較“角的大小”奠定堅實的基礎。在小學數學教學中，教師要不斷豐富學生的學習體驗，積累學生的學習經驗。這樣的研究策略，同樣有助于學生今后的數學學習，即研究數學概念，不僅要從靜態的視角進行研究，而且要從動態的視角進行研究。只有將靜態描述與動態描述結合起來，才能掌握數學知識的本質特征。

史寧中教授等人認為，數學基本活動經驗包括“實踐的經驗”和“思維的經驗”，并強調日常數學學習主要應該獲得“思維的經驗”。思維的經驗，在筆者看來就是以知識經驗為根基、以方法經驗為核心、以策略經驗為關鍵的經驗。思維經驗就是結構性的經驗，對提升學生的數學學習力，發展學生的核心素養發揮著支撐性的作用。只有讓經驗充滿結構性，才能讓經驗成為活的、靈動的經驗。培育、積累學生的結構性經驗，是小學低年級數學教學的應有之義和應然之舉！