多法求解一道全國模擬試題的“母題”

摘 要：2021年由教育部統一命題進行了八省聯考，筆者發現試卷17題即數列解答題純屬于課本一道習題的“子題”，為了探究此類題型的解法，筆者通過不同角度對課本“母題”進行解答，與讀者交流.

關鍵詞：數列;遞推公式;課本習題;一題多解

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）22-0056-02

收稿日期：2021-05-05

作者簡介：杜海洋（1976.9-），男，四川省儀隴人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、試題呈現

三、解法點評

解法1利用遞推數列中的項的系數合理分解組合，構造出兩等比數列，再利用方程組求解，這也是解法3待定系數法的特例，考查了學生多想少算的解題策略，同時也體現了數學轉化劃歸思想;解法2、4、5靈活運用常數的“功效”進一步將遞推公式進行轉化，尤其采用解法2針對相鄰兩項和的遞推數列求通項公式可以避免“二次”待定系數法，且學生容易接受;解法6體現了分類討論思想在數列中的高頻運用，進一步激發學生探究興趣;解法7是本例常見的一種通法，但要留意特征方程根的個數，限于篇幅，請讀者查閱相關資料進一步領會特征方程.利用遞推數列求數列通項公式是高考的命題熱點之一，解決這類問題的方法很多，但不同策略目標是進一步將遞推數列劃歸轉化為等差、等比數列，即所謂解決數列問題的“大格局”.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數學試題，筆者發現，試題體現了新高考的特點即：在秉承素養導向、能力為重的原則下，突出考查學生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運用數學思想方法發展“四能”的意識.尤其是大量的試題創新設置豐富了試題的內容和形式、優化了試卷的結構.大量試題的背景來源依然是學生“熟悉”的面孔，只是呈現的形式換了“包裝”，細心的讀者發現實際模擬17題明顯在教材的難度上降下了臺階，只要平時教學留意，學生順利完成不難.

波利亞曾說過：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義但不太負載的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，把學生引入一個完整的理論領域.”教材許多例題、習題看似平常，實際上卻有很大的教學價值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題，模擬題均能找到課本習題、例題的影子，真正體現源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法，變化的無非是情景的呈現形式、問題的結構方式.這就要求平時在教學中，尤其典型例題和習題不但要講，還要講深講透，同時還要進行一題多解多變， 既可以開拓學生的視野，又可以最大限度的發揮習題的最大功效，使之知一題懂一類.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準試驗教科書·數學5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]高煥江.二階線性遞推數列的通項公式[J].保定學院學報，2010，05（3）：35-37.

[責任編輯：李 璟]