多法求解一道全國模擬試題的“母題”

摘 要：2021年由教育部統(tǒng)一命題進(jìn)行了八省聯(lián)考，筆者發(fā)現(xiàn)試卷17題即數(shù)列解答題純屬于課本一道習(xí)題的“子題”，為了探究此類題型的解法，筆者通過不同角度對課本“母題”進(jìn)行解答，與讀者交流.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;遞推公式;課本習(xí)題;一題多解

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）22-0056-02

收稿日期：2021-05-05

作者簡介：杜海洋（1976.9-），男，四川省儀隴人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、試題呈現(xiàn)

三、解法點評

解法1利用遞推數(shù)列中的項的系數(shù)合理分解組合，構(gòu)造出兩等比數(shù)列，再利用方程組求解，這也是解法3待定系數(shù)法的特例，考查了學(xué)生多想少算的解題策略，同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化劃歸思想;解法2、4、5靈活運(yùn)用常數(shù)的“功效”進(jìn)一步將遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尤其采用解法2針對相鄰兩項和的遞推數(shù)列求通項公式可以避免“二次”待定系數(shù)法，且學(xué)生容易接受;解法6體現(xiàn)了分類討論思想在數(shù)列中的高頻運(yùn)用，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探究興趣;解法7是本例常見的一種通法，但要留意特征方程根的個數(shù)，限于篇幅，請讀者查閱相關(guān)資料進(jìn)一步領(lǐng)會特征方程.利用遞推數(shù)列求數(shù)列通項公式是高考的命題熱點之一，解決這類問題的方法很多，但不同策略目標(biāo)是進(jìn)一步將遞推數(shù)列劃歸轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，即所謂解決數(shù)列問題的“大格局”.

縱觀2021年新高考八省模擬演練數(shù)學(xué)試題，筆者發(fā)現(xiàn)，試題體現(xiàn)了新高考的特點即：在秉承素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的原則下，突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，彰顯了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展“四能”的意識.尤其是大量的試題創(chuàng)新設(shè)置豐富了試題的內(nèi)容和形式、優(yōu)化了試卷的結(jié)構(gòu).大量試題的背景來源依然是學(xué)生“熟悉”的面孔，只是呈現(xiàn)的形式換了“包裝”，細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)實際模擬17題明顯在教材的難度上降下了臺階，只要平時教學(xué)留意，學(xué)生順利完成不難.

波利亞曾說過：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但不太負(fù)載的題目，幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”教材許多例題、習(xí)題看似平常，實際上卻有很大的教學(xué)價值和研究空間.縱觀近幾年全國各地高考題，模擬題均能找到課本習(xí)題、例題的影子，真正體現(xiàn)源于教材、活于教材、高于教材.高考中不變的是知識和思想方法，變化的無非是情景的呈現(xiàn)形式、問題的結(jié)構(gòu)方式.這就要求平時在教學(xué)中，尤其典型例題和習(xí)題不但要講，還要講深講透，同時還要進(jìn)行一題多解多變， 既可以開拓學(xué)生的視野，又可以最大限度的發(fā)揮習(xí)題的最大功效，使之知一題懂一類.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)5[M].北京：人民教育出版社，2007.

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