過兩定點的劣弧圓心角越小弧長越短的應用及證明

摘 要：汽車在彎道轉彎行駛時，為使汽車在確定的兩點之間勻速行駛的時間最短，在滿足汽車速度最大的同時，汽車的運行軌跡必須是經過這兩點的長度最小的圓弧;建立關聯函數，采用求導方法，用邏輯推理的方式證明，平面內在經過兩確定點的劣弧中，劣弧所在圓的半徑越大，劣弧所對的圓心角越小，劣弧的長度就越小.

關鍵詞：彎道;勻速行駛;時間最短;函數;求導

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）22-0082-02

收稿日期：2021-05-05

作者簡介：王偉民（1964-），男，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

從一道在多種物理教輔資料動力學板塊中常見的題目說起——：

例題1 一段S形單行盤山公路的示意圖如圖1所示，彎道1、彎道2可以看作兩個不同水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，彎道中心線半徑分別為r1=10m和r2=20m，彎道2比彎道1高h=12m，有一直道與兩彎道圓弧相切.質量m=1200kg的汽車通過彎道時作勻速圓周運動，路面對輪胎的最大徑向摩擦力是車重的1.25倍，行駛時要求汽車不打滑（sin37°=0.6，sin53°=0.8）.（1）求汽車沿彎道1中心線行駛時的最大速度v1;

（2）汽車以v1進入直道，以P=30kw的恒定功率直線行駛了t=8.0s進入彎道2，此時速度恰為通過彎道中心線的最大速度，求直道上除重力以外的阻力對汽車做的功;

（3）汽車從彎道1的A點進入，從同一直徑上的B點駛離，有經驗的司機會利用路面寬度，用最短時間勻速安全通過彎道，設路寬d=10m，求此最短時間（A、B兩點都在軌道的中心線上，計算時視汽車為質點）.

這道題目是不久前有老師在“物理通報”期刊群詢問的一道題目.能夠發現，該題目涉及的物理問題是一個綜合性很強的動力學問題，需要運用到運動學、動力學的多個公式并結合能量轉化等相關知識方能解決.圖2是參考答案解析中給出的第三個分問題對應的插圖，其中汽車運行時間最短的路線是過AB兩點并且與軌道內側圓弧（也就是小⊙O1的圓周）相內切的一段劣弧——即圖2中以O′為圓心的劣弧AB.詢問者手頭有該題目的參考答案，也能看明白參考答案的解析過程，他詢問的問題是，如何證明圓弧AB是汽車由A到B最短時間對應的路徑？因為教輔資料給出的參考答案的解析，或者網上百度的解析過程，都是直接說圖2中與彎道內側圓弧相內切的劣弧AB的長度是所有過AB兩點的劣弧中長度最短的劣弧，但并沒有給出證明的過程.

這就是說，過平面內兩定點的劣弧，圓弧所對圓心角越小，圓弧所在圓的半徑越大，劣弧的長度就越小.

圖2中，在彎道路面范圍內，以AB為端點可以作無數條劣弧，易知，劣弧所在圓的半徑越大，劣弧與弦AB組成弓形的高就越小——將弦長AB視為常量l，可以寫出弓形高h與圓弧半徑R間的函數關系式，上述結論的正確性性可以通過函數的增減性來進行證明（限于篇幅，這里不再證明）.當弓形高h小到過AB兩點的劣弧與軌道內側圓弧相內切時，汽車運行圓弧軌跡已經到了彎道的內側邊緣，此時汽車運行軌跡圓弧半徑最大，汽車不側滑時對應的速度也達到最大，而此時汽車運行軌跡的長度最小，所以，過AB兩點并且與彎道內側圓弧相內切的劣弧，是汽車由A點駛向B點時間最短的運行軌道.

在上面的推理過程中，我們用到的主要是數學知識，而且過程比較復雜，構造關聯函數之后兩次求導，利用函數的增減性并結合特殊值間的關系進行論證，作為求解物理問題，這樣的做法好像已經偏離了“物理方向”.如果考慮教學的重點和針對性，在物理習題課教學中分析并講解這道題目時，我們可以跳過證明這一環節，就像參考答案給出的解析過程那樣，將“過兩定點的劣弧的長度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”這一規律當成一個“數學定理”直接使用，或者只是在解題過程中增添一句話——可以證明“過兩定點的劣弧的長度隨劣弧所在圓半徑的增大而減小”，其正確性的推證無需體現在解題過程之中.不過，作為教師，在備課過程中還是應該對上述結論進行嚴密的邏輯論證，畢竟該結論不是“數學定理”，憑感覺進行判斷是在犯經驗主義錯誤，而且未必正確，命題的正確性需要邏輯論證的.

參考文獻：

[1]漆玉瓊.巧用弧的特征解決實際問題例講[J].數理化解題研究，2020（1）：41-42.

[2]崔建勤.最短路徑的作圖與探究[J].中學數學教學參考，2016（Z2）：136-137.

[責任編輯：李 璟]