分類討論思想在數學解題中的運用

摘 要：分類討論思想是初中數學教學中的重要思想方法，教師引導學生利用分類討論思想解決各種復雜的數學題目，確保學生的解題效率，有利于發展學生的數學思維.分類討論思想主要運用在函數方程、三角問題和圓問題中.教師需要正確引導學生，幫助學生掌握分類討論思想方法在初中數學解題中的運用方法，提高學生的數學解題效率.

關鍵詞：初中數學;解題思路;分類思想

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）23-0030-02

收稿日期：2021-05-15

作者簡介：陳艷陽（1983.11-），女，江蘇省如皋人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

一、利用分類討論思想解決函數方程問題

方程問題是學生初中階段必須掌握的一個數學知識點，但是由于學生的認知水平不足，數學知識儲備量有限，在學習較為抽象的數學函數問題時，總是感到難以下手.當出現這種情況時，教師需要耐心引導學生，指導學生正確運用分類討論思想解決相應的方程問題，提高學生的數學解題效率.

例1 現已知一個方程式子a-3x|a-1|+x2-3=0，a滿足什么條件的情況下，上述式子為一元二次方程？

解析 從題目給出的信息可以得出，當x的指數小于等于2，且是自然數即可滿足要求，即|a-1|≤2.學生在解決上述問題時，容易犯的錯是，認為只有當指數為1時，才能滿足題目要求，導致答案不完整.而引入分類討論思想方法能夠有效避免學生的這一錯誤，教師指導學生將所有的可能列出來，避免答案遺漏現象.當a-1=2，時，a=3或者a=-1，將a代入一元二次方程，可得到式子x2-3=0，或者3x2+3=0.當a-1=1時，解得a=2或者a=0，得到一元二次方程式為x2-x-3=0，或者x2-3x-3=0.而當a-1=0時，解得a的值為1，此時的一元二次方程式子為x2-5=0.通過上述解析，不難發現將分類討論思想方法運用到數學解題中，有效避免答案遺漏的現象，學生的解題準確率有所提升.

二、利用分類討論思想解決三角幾何問題

三角形問題也是學生在解決數學問題中經常遇到題型，因為幾何知識的抽象性和邏輯性，學生在解決這類問題時存在一定的難度.而且因為學生的空間想象力不足，難以準確理解此類問題的具體意思，解題思路自然存在偏差.因此，教師在教學時，需要有意識、有目的地培養學生的邏輯思維能力，鍛煉學生的空間想象力.將分類討論思想方法運用到幾何問題解決中，有效幫助學生解決數學問題，提高學生的數學解題技能，確保學生的數學解題效率，增強學生的解題信心.

例2 如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設兩條線段上存在一點P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？

解析 學生在求解上述數幾何問題時，因為缺乏較強的想象力，在解決問題上存在一定的難度，如果學生繼續運用傳統的解題方法，可能會導致答案錯誤.因此，教師需要指導學生正確解決上述問題，首先，教師需要幫助學生回憶有關等腰三角形的定義和相關知識，然后指導學生利用課堂所學知識進行求解，正確運用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現在需要進行分類.首先，假設AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點P2和P1，此時滿足要求，即△PAB為等腰三角形.繼續假設，當線段AB為等腰三角形的腰時，又需要進行分類.首先假設當∠A為頂角時，教師引導學生利用課堂中與等腰三角形的定義知識，指導學生作圖.以點A為圓心，線段AB為半徑畫一個圓，和直線l1和l2相交于點P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求.當∠B為頂角時，同理，以點B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點P7、P8、P9和P10，滿足數學題目要求，△PAB為等腰三角形.由此可見，學生在解決初中數學三角問題時，應當正確指導學生利用分類討論思想解決數學問題，提高學生的數學解題效率，確保初中數學課堂教學質量.

三、利用分類討論思想解決圓的相關問題

幾何數學知識是學生學習數學知識的重中之重，學生的邏輯思維不足，難以準確掌握數學幾何知識.因此，教師需要正確引導學生.初中的幾何知識包括三角形、圓形等幾何圖形，學生在解決這類問題時，因為對幾何知識的理解不透徹，無法準確抓住題目的關鍵，從題意本身出發，導致答案錯誤.所以，教師需要指導學生動手作圖，通過自主探索獲得數學新知識，既鍛煉學生的動手能力，又確保數學課堂的教學質量.

例3 已知兩個圓O1和O2的半徑分別為10和17，兩個圓存在兩個交點A和B，線段AB的長為16，求圓心距O1O2和∠O1AO2？

解析 在求解上述題目時，學生需要將所有的可能性都考慮到，避免遺漏.所以，教師需要指導學生利用分類討論思想方法，確保答案的完整性.根據上述題目給出的信息，兩個圓相交存在兩個交點的情況有兩種，如圖所示.聯系以前所學的勾股定理，可以列出式子O1C=AO21-AC2=102-82=6.同理可得O2C=AO22-AC2=172-82=15.計算到這里，學生可能不知道如何繼續下一步，這時，教師需要指導學生聯系三角函數的相關知識，調動學生所有可以利用的數學知識，鍛煉學生的實際運用能力.將上述得出的條件代入到新的式子中，可得到cos∠O1AC=ACAO1=810=45，同理可以得到cos∠O2AC=ACAO2=817，所以∠O1AC=36.9°，∠O2AC=61.9°.接著，教師指導學生進行假設，分類進行討論.假設兩個圓相交的情況如（a）所示，則O1O2=O1C+O2C=6+15=21，∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=36.9°+61.9°=99°.當兩個圓相交的情況如（b）所示時，教師需要引導學生重新分析.O1O2=O2C-O1C=15-6=9，∠O1AO2=∠O2AC-∠O1AC=61.9°-36.9°=25°.由此可以看出，分類討論思想運用廣泛，利用分類討論思想解決幾何數學問題，能夠確保答案的完整性和準確性，讓數學解題教學課堂得以順利開展.

綜上所述，分類討論思想在初中數學解題中運用較為廣泛，教師需要合理準確地引導學生利用分類討論思想，仔細審題，根據題目所給的信息，具體分析數學題目，確保答案的準確性，提高學生的解題技能，發展學生的數學思維.

參考文獻：

[1]袁紹建.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].數學學習與研究（教研版），2015（24）：136-137.

[2]史志亞.分類討論思想在初中數學解題中應用分析[J].數學大世界（教學導向），2012（11）：64-65.

[責任編輯：李 璟]