含模糊不確定性的汽車盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性研究

黃曉婷，李沛航，呂 輝

(1.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 汽車與交通工程學(xué)院， 廣州 510800；2.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 廣州 510641)

汽車制動(dòng)噪聲已成為城市的主要噪聲污染源之一。如果汽車的制動(dòng)器在工作過程中處于不穩(wěn)定狀態(tài)，就可能引起強(qiáng)烈的振動(dòng)，并形成刺耳的噪聲。其中，頻率為1～16 kHz的制動(dòng)尖叫聲最影響乘客的聽覺，嚴(yán)重影響汽車的乘坐舒適性[1]。

針對(duì)汽車制動(dòng)噪聲，已有不少學(xué)者通過對(duì)制動(dòng)器的復(fù)特征值進(jìn)行分析來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從而預(yù)測(cè)制動(dòng)噪聲的產(chǎn)生傾向[2-4]。顧華鋒等[5]對(duì)重型汽車盤式制動(dòng)器系統(tǒng)開展了縮比試驗(yàn)及有限元數(shù)值分析，研究了系統(tǒng)中主要參數(shù)對(duì)制動(dòng)噪聲的影響。Guan Dihua等[6]基于摩擦閉環(huán)耦合有限元模型求解了制動(dòng)器復(fù)特征值的正實(shí)部，通過分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)正實(shí)部的影響，提出了抑制制動(dòng)噪聲的工程措施。Fritz G等[7]運(yùn)用復(fù)特征值分析方法，研究了阻尼對(duì)制動(dòng)噪聲形成的影響。Liu P、Junior M T[8-9]分別對(duì)制動(dòng)器有限元耦合模型進(jìn)行了復(fù)模態(tài)分析，研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而甄別影響制動(dòng)噪聲產(chǎn)生的主要因素。Dai Y等[10]以制動(dòng)塊為主要研究對(duì)象，分析了制動(dòng)塊結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)分布的影響，從抑制制動(dòng)噪聲的角度為制動(dòng)塊的設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)。呂輝等[11]將有限元法、響應(yīng)面法和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，提出了一種降低制動(dòng)器系統(tǒng)不穩(wěn)定系數(shù)的優(yōu)化方法。

上述研究均以有限元復(fù)特征值分析作為基本的數(shù)值分析方法，同時(shí)又都基于傳統(tǒng)的確定性分析技術(shù)而開展。而基于不確定性分析的制動(dòng)噪聲研究工作還比較少見，Sarrouy E等[12]基于多項(xiàng)式混沌展開研究了隨機(jī)不確定性參數(shù)對(duì)盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性的影響；呂輝等[13]采用證據(jù)理論模型描述系統(tǒng)參數(shù)，從可能性角度對(duì)盤式制動(dòng)器的穩(wěn)定性進(jìn)行了探索；張立軍、張立軍、Lü H等[14-15]將隨機(jī)或區(qū)間分析與優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合，從穩(wěn)健性設(shè)計(jì)角度對(duì)制動(dòng)尖叫傾向性進(jìn)行了優(yōu)化。

由于汽車制動(dòng)器結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和工作環(huán)境的不確定性，現(xiàn)有方法還難以完全消除或準(zhǔn)確預(yù)測(cè)制動(dòng)噪聲。實(shí)際工程運(yùn)用中，制動(dòng)器在摩擦接觸、材料和幾何屬性參數(shù)等方面，廣泛存在著各種不確定性。除了隨機(jī)、區(qū)間不確定性情形，制動(dòng)器還可能存在模糊不確定性。模糊理論在Zadeh[16]提出的模糊集合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來。目前，基于模糊理論的制動(dòng)噪聲研究尚不多見。此外，在一定條件下模糊分析模型可以向隨機(jī)或區(qū)間分析模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因此，研究模糊模型下的制動(dòng)器穩(wěn)定性具有更廣泛的工程意義。

本文將模糊理論引入到含不確定性參數(shù)的汽車盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性研究中，采用模糊變量對(duì)制動(dòng)器的摩擦因數(shù)、材料和幾何屬性參數(shù)進(jìn)行描述；將有限元復(fù)特征值分析與響應(yīng)面法相結(jié)合，建立制動(dòng)器穩(wěn)定性分析的參數(shù)化模型；基于模糊分析算法對(duì)制動(dòng)器的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。方法將進(jìn)一步豐富和完善不確定性條件下汽車盤式制動(dòng)器穩(wěn)定性的研究體系。

1 模糊理論

1.1 模糊集和隸屬函數(shù)

設(shè)在論域U上有子集A?U，若對(duì)任一u∈U有函數(shù)μA(u)∈[0，1]，則稱A為U上的模糊集，μA(u)為A的隸屬函數(shù)。

若u∈U，有μA(u)=1，則u∈A是確定的。

若u∈U，有μA(u)=0，則u?A是確定的。

若u∈U，有μA(u)∈(0，1)，則u與A間的隸屬關(guān)系是不確定的，由隸屬函數(shù)值μA(u)的大小即隸屬度的大小而定。

若A為普通集，定義其隸屬函數(shù)為CA(u)，其中A?U，u∈U，則：

(1)

1.2 模糊變量的截集和L-R定義

設(shè)A為論域U上的模糊集，λ∈[0，1]，記：

Aλ={u|u∈U，μA(u)≥λ}

(2)

則稱Aλ為模糊集A的一個(gè)λ截集。模糊集通常可采用一個(gè)模糊變量描述。

通常，用L或R表示一個(gè)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件時(shí)：

1)L(x)=L(-x)，R(x)=R(-x)；

2)L(0)=1，R(0)=1；

3)L(x)在[0，+∞)上不增。

(3)

(4)

Iλ=[m+α(λ-1)，m-β(λ-1)]

(5)

特別地，當(dāng)λ=0時(shí)，有：

Iλ=0=[m-α，m+β]

(6)

2 盤式制動(dòng)器的穩(wěn)定性分析

以某汽車盤式制動(dòng)器為研究對(duì)象，完整的制動(dòng)器模型通常比較復(fù)雜，包含制動(dòng)盤、制動(dòng)塊(摩擦材料+支撐背板)、保持架、導(dǎo)向銷和活塞等部件。為了降低分析計(jì)算量，同時(shí)又能反映系統(tǒng)的主要振動(dòng)特性，對(duì)制動(dòng)器模型進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化處理，其簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 汽車盤式制動(dòng)器簡(jiǎn)化模型示意圖

系統(tǒng)制動(dòng)過程中引入了摩擦力，系統(tǒng)振動(dòng)方程可表示為[9]：

(7)

式中：M、C、K分別為無摩擦制動(dòng)器系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X為系統(tǒng)振動(dòng)位移矢量；Kf為摩擦接觸剛度矩陣。

由式(7)可知，引入摩擦力后系統(tǒng)的剛度矩陣為(K-Kf)。該剛度矩陣不對(duì)稱，會(huì)導(dǎo)致某些情形下系統(tǒng)的特征值和特征向量為復(fù)數(shù)，即系統(tǒng)的模態(tài)頻率和振型為復(fù)數(shù)形式[9]。

式(7)的特征方程為：

det(s2M+sC+K-Kf)=0

(8)

式中：s為系統(tǒng)復(fù)特征值。

第i階復(fù)特征值可以表示為：

si=σi+jωi

(9)

式中：σi和ωi分別為復(fù)特征值的實(shí)部和虛部。特征值實(shí)部σi可用來判斷制動(dòng)器系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)σi<0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)σi>0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的復(fù)模態(tài)為不穩(wěn)定模態(tài)。

定義第i階復(fù)特征值的阻尼比為[8]：

(10)

式中ζi為阻尼比，可作為衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標(biāo)。從式(10)可知，當(dāng)ζi為負(fù)時(shí)(即σi>0)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。此時(shí)，可等效認(rèn)為系統(tǒng)存在負(fù)阻尼，即阻尼不耗散能量，反而向系統(tǒng)中饋入能量，引發(fā)自激振動(dòng)。

3 模糊不確定性分析

在傳統(tǒng)的制動(dòng)器穩(wěn)定性研究中，往往先假設(shè)某設(shè)計(jì)參數(shù)變化，而其他參數(shù)不變，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化[8-9]。這種方法既耗時(shí)，又沒有考慮參數(shù)間的交互作用，具有一定的局限性。響應(yīng)面是一種構(gòu)建近似模型的方法[11]。用響應(yīng)面近似模擬設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)的映射關(guān)系，能夠避免對(duì)復(fù)雜有限元模型的重復(fù)調(diào)用，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率。

3.1 響應(yīng)面模型

在制動(dòng)器穩(wěn)定性有限元分析中，系統(tǒng)的模態(tài)與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系是一種典型的隱式函數(shù)關(guān)系。以系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)為研究對(duì)象構(gòu)建其2階響應(yīng)面模型[11]。與第k階不穩(wěn)定模態(tài)對(duì)應(yīng)的復(fù)特征值實(shí)部和虛部的2階多項(xiàng)式可表示為：

(11)

(12)

式中：σk(x)和ωk(x)分別為復(fù)特征值的實(shí)部和虛部；a0、b0、ai、bi、aii、bii、aij和bij為未知系數(shù)，可以通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)和最小二乘法求解；xi(i=1，2，…，n) 為系統(tǒng)參數(shù)，n為參數(shù)個(gè)數(shù)。

得到響應(yīng)面模型后，需檢驗(yàn)其擬合精度，具體分析過程可參見文獻(xiàn)[15]。

3.2 模糊不確定性分析

由于制動(dòng)器工作環(huán)境和部件屬性復(fù)雜多變，所以制動(dòng)噪聲的產(chǎn)生具有很大的不確定性。由于模糊不確定性可以向隨機(jī)或區(qū)間不確定性轉(zhuǎn)換，因此本文基于模糊模型對(duì)制動(dòng)器系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行研究。

(13)

3.3 研究步驟

結(jié)合上述分析，含模糊不確定性的制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性研究可按如下步驟實(shí)施：

1) 選取制動(dòng)器系統(tǒng)的研究參數(shù)，定義系統(tǒng)研究變量和取值空間；

2) 建立制動(dòng)器系統(tǒng)的有限元模型，利用復(fù)特征分析技術(shù)求解系統(tǒng)復(fù)模態(tài)；

3) 在變量取值空間進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，結(jié)合有限元分析建立不穩(wěn)定模態(tài)的響應(yīng)面模型；

4) 引入模糊變量處理系統(tǒng)的模糊特性，基于模糊算法求解系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)的模糊響應(yīng)，并評(píng)估不確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

5) 研究不確定性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)措施。

4 含模糊不確定性的系統(tǒng)穩(wěn)定性研究

4.1 盤式制動(dòng)器參數(shù)化模型

以圖1所示的汽車盤式制動(dòng)器模型為研究對(duì)象。其中，制動(dòng)盤材料為灰鑄鐵并具有很好的耐磨性，摩擦材料由各向異性的有機(jī)材料組成，支撐背板為鋼材。該制動(dòng)器的有限元模型如圖2所示，本文采用ABAQUS軟件進(jìn)行仿真分析。

圖2 制動(dòng)器有限元模型示意圖

圖3表示了該有限元模型的邊界條件定義。其中制動(dòng)盤被完全約束在5個(gè)螺紋孔的中心；摩擦材料與支撐背板牢固地粘在一起，制動(dòng)壓力均勻地加載在背板與液壓活塞缸對(duì)應(yīng)的接觸位置，并假設(shè)加載在2個(gè)背板上的制動(dòng)壓力大小相等；支撐背板只能沿垂直于盤面的方向移動(dòng)，而制動(dòng)盤的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)采用ABAQUS的MOTION卡片進(jìn)行施加。

圖3 有限元模型的邊界條件定義示意圖

對(duì)于該制動(dòng)器，摩擦材料由有機(jī)各向異性材料制成，定義材料屬性需要很多參數(shù)。參考文獻(xiàn)[9]，本文將其假設(shè)為各向同性材料，但彈性模量處理為不確定變量。由于本文是基于不確定性分析而開展的研究，故該假設(shè)在一定程度上是合理的。

在有限元分析中，影響系統(tǒng)模態(tài)分析結(jié)果的主要參數(shù)有邊界條件、材料和幾何屬性參數(shù)等，參考文獻(xiàn)[8-9]，選取表1所示的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行研究。

表1 系統(tǒng)參數(shù)名義值和取值范圍

表1中所有參數(shù)的名義值均為取值范圍的中間值。除摩擦因數(shù)f和摩擦材料彈性模量E2外，其他參數(shù)取值變化范圍均為名義值的10%。由于摩擦因數(shù)f的不確定性比較大，所以本文根據(jù)實(shí)際情況將其取值范圍取為[0.300，0.400]；而本文對(duì)摩擦材料作了各向同性化假設(shè)，故將E2的不確定性也取得相對(duì)大一些，取值變化范圍為名義值的20%。

由表1中參數(shù)的取值范圍構(gòu)成試驗(yàn)設(shè)計(jì)空間，然后采用拉丁超立方抽樣方法獲取90組樣本點(diǎn)并代入到制動(dòng)器有限元模型中，分析計(jì)算0～16 kHz的復(fù)模態(tài)。分析結(jié)果顯示，系統(tǒng)的不穩(wěn)定模態(tài)(具有負(fù)阻尼比)主要分布在1.9 kHz附近，雖然在其他頻率上也出現(xiàn)了不穩(wěn)定模態(tài)，但是對(duì)應(yīng)的負(fù)阻尼比的絕對(duì)值都比1.9 kHz附近的小。為了更直觀地顯示分析結(jié)果，圖4給出了隨機(jī)選取的11組樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)模態(tài)阻尼比的分析結(jié)果。

圖4 部分樣本對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分布圖

圖4中同組樣本的分析結(jié)果用相同的符號(hào)表示。從圖中可明顯地看出系統(tǒng)的不穩(wěn)定模態(tài)主要集中分布在1.9 kHz附近。

基于上述分析結(jié)果，選取1.9 kHz附近的不穩(wěn)定模態(tài)作為首要不穩(wěn)定模態(tài)進(jìn)行分析研究，構(gòu)建其2階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的近似表達(dá)式：

σ(x)=σ(f，p，E1，E2，E3，ρ1，ρ2，ρ3，h1)=

-1 220.37-913.42f+2.64p-2.05E1+

18.59E2+6.16E3-10.88ρ1-175.47ρ2-

120.22ρ3+475.64h1+494.04fp-2.81fE1+

10.00fE2+2.61fE3+130.87fρ1+23.47fρ2-

80.18fρ3+122.95fh1+0.95pE1+31.70pE2-

0.06pE3-18.48pρ1-72.13pρ2+146.08pρ3-

162.65ph1-0.19E1E2+0.03E1E3+0.61E1ρ1+

0.38E1ρ2-0.58E1ρ3+0.80E1h1+2.05e-3E2E3-

2.41E2ρ1-3.93E2ρ2+0.96E2ρ3+0.72E2h1-

0.44E3ρ1-0.21E3ρ2+0.45E3ρ3-0.83E3h1+

23.81ρ1ρ2+16.52ρ1ρ3-28.32ρ1h1-11.03ρ2ρ3-

34.23ρ2h1+13.98ρ3h1-633.44f2-195.43p2-

(14)

ω(x)=ω(f，p，E1，E2，E3，ρ1，ρ2，ρ3，h1)=

1 973.88-20.39f+13.29p+15.46E1+

1.74E2-0.13E3-244.90ρ1-34.71ρ2-

7.00ρ3-5.34h1+22.08fp+0.07fE1-

0.06fE2+0.02fE3+0.61fρ1-0.30fρ2+

1.31fρ3-1.77fh1-0.04pE1-0.71pE2+

0.14pE3-2.68pρ1-3.15pρ2-1.84pρ3+

2.93ph1+0.01E1E2+3.23e-4E1E3-0.45E1ρ1-

0.06E1ρ2-0.04E1ρ3-0.08E1h1+2.57e-3E2E3-

0.39E2ρ1+5.22e-3E2ρ2+0.12E2ρ3+0.22E2h1-

0.01E3ρ1+1.84e-3E3ρ2+4.57e-3E3ρ3+

0.02E3h1+1.72ρ1ρ2+1.27ρ1ρ3+0.93ρ1h1+

0.19ρ2ρ3+0.52ρ2h1-1.06ρ3h1-4.14f2-

(15)

式中：σ(x)和ω(x)分別為1.9 kHz附近的不穩(wěn)定模態(tài)對(duì)應(yīng)的復(fù)特值實(shí)部和虛部。對(duì)上述響應(yīng)面模型進(jìn)行擬合精度檢驗(yàn)，可知該響應(yīng)面模型擬合精度高，能夠用于后續(xù)分析研究[15]。

4.2 模糊不確定性下制動(dòng)器的穩(wěn)定性分析

各模糊變量用三元組表示，其取值如表2所示。

表2 系統(tǒng)模糊變量的取值

圖5 模糊不確定性下的解集曲線

由文獻(xiàn)[11]可知，工程設(shè)計(jì)中為保證制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般要求ζi≥-0.01。由圖5可知，在給定的不確定性條件下，當(dāng)截集λ∈[0.93，1]時(shí)，阻尼比響應(yīng)均大于-0.01，系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全滿足要求；而當(dāng)截集λ∈[0，0.93]時(shí)，阻尼比響應(yīng)既可能大于也可能小于-0.01，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不完全滿足要求，穩(wěn)健性較差。這說明在不確定性條件下需對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行改進(jìn)提高。

4.3 制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定性改進(jìn)

圖6 系統(tǒng)穩(wěn)定性與各模糊變量的關(guān)系曲線

由于在實(shí)際工程中，系統(tǒng)的摩擦因數(shù)難以掌握和控制，材料密度往往不作為設(shè)計(jì)變量，而制動(dòng)盤作為關(guān)鍵部件一般不輕易進(jìn)行改動(dòng)。因此，與上述相關(guān)的系統(tǒng)參數(shù)不宜用于改進(jìn)分析研究。結(jié)合圖6的分析，本文選取支撐背板的彈性模量和厚度進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)分析。

圖7 不同模糊變量下的解集曲線

圖8 背板不同模糊剛度下的解集曲線

本文僅側(cè)重于考慮模糊不確定性的簡(jiǎn)化制動(dòng)器系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)值分析研究，對(duì)于完整制動(dòng)器系統(tǒng)模型的振動(dòng)特性，以及在摩擦部件上倒角、開溝槽或織構(gòu)化處理等對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，還有待進(jìn)一步探索[17]。

5 結(jié)論

1) 針對(duì)汽車制動(dòng)器可能存在模糊特性的情形，將模糊模型引入到制動(dòng)器的穩(wěn)定性研究中，提出了一種含模糊不確定性的制動(dòng)器系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，為制動(dòng)噪聲的有效控制提供了新途徑。

2) 本文方法可對(duì)模糊不確定性條件下的制動(dòng)器穩(wěn)定性進(jìn)行有效分析，有效改善和提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，降低制動(dòng)噪聲。