基于最小二乘參數(shù)估計(jì)的和諧型機(jī)車故障數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)模型建立方法*

李 昊，李忠厚，蔡 兩，艾厚溥

（1 中國鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 機(jī)車車輛研究所，北京100081；2 中國鐵道科學(xué)研究院 研究生部，北京100081）

科學(xué)的數(shù)據(jù)分析是將數(shù)據(jù)資源轉(zhuǎn)化為效益的有效方法。和諧型機(jī)車自2007年起批量配屬，2018年開始產(chǎn)生最高等級修程，經(jīng)過10多年的運(yùn)用檢修和修程修制改革的不斷摸索，積累了大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。深入開展數(shù)據(jù)分析方法研究與實(shí)踐，是進(jìn)一步掌握機(jī)車可靠性規(guī)律，不斷深化修程修制改革的重要手段。

目前和諧型機(jī)車檢修執(zhí)行計(jì)劃預(yù)防修和以可靠性為中心的維修相結(jié)合的修程修制體系，C1～C4修為段級修程，C5、C6為高級修程。和諧型機(jī)車可視為一個(gè)可修復(fù)系統(tǒng)，機(jī)車整車的可靠性在檢修完成后會(huì)得到恢復(fù)，特別是高級修程后，其可靠性會(huì)發(fā)生一定變化。因此應(yīng)以高級修周期作為統(tǒng)計(jì)樣本對和諧型機(jī)車的可靠性進(jìn)行分析。

和諧型機(jī)車是機(jī)械、電子、計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制、材料等技術(shù)的集成，是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)。通過大量的調(diào)查和研究表明，復(fù)雜技術(shù)裝備的失效率曲線不再是單一的浴盆曲線［1］。其故障規(guī)律主要由以下幾種情況疊加而成：

（1）和諧型機(jī)車機(jī)械活動(dòng)部件的失效，其故障率符合傳統(tǒng)的失效理論，即其失效率遵循浴盆曲線，具有明顯的早期失效期、偶然失效期和耗損失效期。

（2）電器、電子、通信部件，其故障規(guī)律不再符合傳統(tǒng)的浴盆曲線。電子、電力、微機(jī)控制系統(tǒng)的器件其失效率隨時(shí)間增長而下降，下降到一定程度時(shí)保持穩(wěn)定。

（3）機(jī)車進(jìn)行高級修程維修工作時(shí)，部件的車上拆裝、車下分解、軟件更新等作業(yè)均會(huì)產(chǎn)生一定的維修次生故障，從而帶來一定的早期失效。

（4）和諧型機(jī)車在修程修制改革后一個(gè)高級修周期為110萬km，根據(jù)機(jī)車運(yùn)行速度的不同，折合成時(shí)間約為3～5 a。隨著運(yùn)用時(shí)間、高級修次數(shù)的增加，運(yùn)用檢修人員的經(jīng)驗(yàn)得到積累，融合工藝進(jìn)步、管理水平提高等多種因素也會(huì)帶來機(jī)車質(zhì)量的提高。

1 數(shù)據(jù)來源與規(guī)律初探

文中采用和諧型電力機(jī)車在修程修制改革前一個(gè)高級修周期（100萬km）內(nèi)發(fā)生設(shè)備故障時(shí)的走行公里觀測值作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，共1391條數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)概況如圖1所示。

圖1 和諧型機(jī)車故障數(shù)據(jù)概況

故障數(shù)據(jù)對應(yīng)的機(jī)車樣本數(shù)在各公里區(qū)間有所不同，具體見表1。

表1 各公里區(qū)間機(jī)車樣本數(shù)統(tǒng)計(jì)表

以百萬公里平均故障率作為評價(jià)指標(biāo)對和諧型機(jī)車故障規(guī)律進(jìn)行判斷［2］，設(shè)在第i個(gè)運(yùn)行間隔[iΔt～(i+1)Δt]內(nèi)有Ni臺機(jī)車投入運(yùn)行，期間累計(jì)發(fā)生Δri次故障，則該運(yùn)行間隔內(nèi)的百萬公里平均故障率λˉi為式（1）：

得到機(jī)車一個(gè)高級修周期內(nèi)百萬公里平均故障率，如圖2所示。

圖2 百萬公里平均故障率統(tǒng)計(jì)

根據(jù)機(jī)車故障數(shù)據(jù)初步分析結(jié)果，結(jié)合連續(xù)型隨機(jī)變量常見分布的特點(diǎn)，假設(shè)機(jī)車故障符合威布爾分布。

威布爾分布在可靠性工程中的應(yīng)用很廣［3］，尤其在描述軸承的壽命過程用得較多。大量實(shí)踐說明，凡是因局部失效或故障引起全局失效的元件、器件、設(shè)備、系統(tǒng)等的壽命分布服從威布爾分布［4］，其概率密度函數(shù)為式（2）：

式中：k為形狀參數(shù)；a為位置參數(shù)；b為尺度參數(shù)。

2 機(jī)車故障數(shù)據(jù)的參數(shù)最小二乘估計(jì)

由于機(jī)車故障從一個(gè)高級修周期開始即有可能發(fā)生，因此取位置參數(shù)a=0，用兩參數(shù)威布爾分布對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其累計(jì)概率密度函數(shù)為式（3）：

設(shè)線性回歸方程為式（4）：

對式（3）進(jìn)行線性變換［5］得式（5）～式（8）：

參數(shù)的最小二乘估計(jì)是以因變量的估計(jì)值與觀測值二者之差的平方和最小作為擬合最優(yōu)的評判標(biāo)準(zhǔn)。在已經(jīng)獲得樣本觀測值的情況下，假設(shè)參數(shù)估計(jì)量已經(jīng)求得到，為和?，并且是最合理的參數(shù)估計(jì)量，那么直線方程式（9）：

根據(jù)最小二乘法，使式（10）最小。

解上述方程組得式（12）和式（13）：

3 機(jī)車故障數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)模型建立

首先建立假設(shè)，確定顯著性水平：H0：樣本所來自總體的分布為威布爾分布；H1：樣本所來自總體的分布為非威布爾分布。取顯著性水平α=0.05。

采用Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（下文簡稱：K-S檢驗(yàn)），K-S檢驗(yàn)是一個(gè)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，研究樣本觀察值的分布和設(shè)定的理論分布是否吻合，通過對2個(gè)分布差異的分析確定是否有理由認(rèn)為樣本的觀察結(jié)果來自所假定的理論分布總體。

K-S檢驗(yàn)的基本思路是：先將數(shù)據(jù)的理論累積頻率分布［6］與觀測的經(jīng)驗(yàn)累積頻率分布加以比較，求出它們最大的偏離值，然后在給定的顯著性水平上檢驗(yàn)這種偏離值是否是偶然出現(xiàn)的。

F0（X）為已知的樣本累計(jì)分布函數(shù)，記樣本所來自總體的累計(jì)分布函數(shù)為F（X），判斷樣本數(shù)據(jù)X1，……，Xn是否來自某個(gè)特定分布函數(shù)F0（X），此時(shí)需要檢驗(yàn)的原假設(shè)H0為：F（X）=F0（X）。已知樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為S（X），為F（X）的一個(gè)近似，因此若H0成立，S（X）與F0（X）應(yīng)相差不大。先計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn，然后查D臨界值表確定統(tǒng)計(jì)判斷。

該檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Dn為式（14）：

計(jì)算K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算過程見表2。

表2 故障數(shù)據(jù)K-S檢驗(yàn)計(jì)算表

因顯著性水平α=0.05，n=1391，查臨界值表，當(dāng)樣本數(shù)量大于35時(shí)臨界值為0.08761［7］，因Dn＜臨界值，故接受原假設(shè)，即樣本所來自的總體符合參數(shù)為k=0.718494692，b=1807593.396的威布爾分布。如圖3所示。

圖3 機(jī)車故障理論分布與實(shí)際分布對比

在已知機(jī)車運(yùn)用故障的分布后，即可建立統(tǒng)計(jì)模型對一個(gè)高級修周期內(nèi)機(jī)車故障進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。以k=0.718494692，b=1807593.396給出機(jī)車整車可靠性指標(biāo)的函數(shù)：

可靠度函數(shù)為式（15）：

失效率函數(shù)為式（16）：

4 結(jié)論

通過對和諧型機(jī)車運(yùn)用故障數(shù)據(jù)的分析，得出了以下結(jié)論：

（1）通過參數(shù)的最小二乘估計(jì)可以有效地對一個(gè)高級修周期內(nèi)和諧型機(jī)車運(yùn)用故障數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，根據(jù)K-S檢驗(yàn)的結(jié)果，可以接受機(jī)車故障數(shù)據(jù)符合威布爾分布的假設(shè)，建立的統(tǒng)計(jì)學(xué)模型基本符合機(jī)車運(yùn)用故障實(shí)際情況。

（2）由圖3可以看出，理論分布與實(shí)際分布在50萬km后的擬合優(yōu)度要低于50萬km前，是因?yàn)樵?0萬km后的機(jī)車樣本和數(shù)據(jù)量均低于50萬km前，而最小二乘參數(shù)估計(jì)的計(jì)算方法決定了其建立的理論分布更貼近數(shù)據(jù)量大的部分。如50萬km后數(shù)據(jù)量進(jìn)一步積累，則擬合會(huì)更優(yōu)。

（3）和諧型機(jī)車的質(zhì)量規(guī)律是多種因素疊加而成的，不同類型、不同系統(tǒng)、不同部件的故障均有其規(guī)律。隨著運(yùn)用時(shí)間的不斷增加，不同高級修周期內(nèi)的質(zhì)量規(guī)律也會(huì)發(fā)生變化。現(xiàn)場技術(shù)人員應(yīng)加強(qiáng)數(shù)據(jù)累積，在整車故障統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，深入開展數(shù)據(jù)分析，進(jìn)一步掌握機(jī)車質(zhì)量規(guī)律，并應(yīng)用到機(jī)車可靠性評價(jià)、設(shè)備健康管理等領(lǐng)域。