基于核心素養的概念課教學

徐沖 陳春芳

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗。近幾年模擬題、高考題越來越注重對數學概念的考察，而不僅僅專注于考察數學技巧。教授李邦何曾講過“數學基本上是一個玩弄概念的問題，而不是深奧的技能”。理解數學概念是學習數學最基本的要求。概念看似簡單，但其隱藏的深層次的數學內涵和背景需要教師帶著學生一點點去探究，在研究的過程中不斷領略其中的奧妙。對概念的深入理解也有利于提升學生的數學核心素養，同時對獲得后續數學新知識方面發揮著非常關鍵的作用。數學是塑造數學視野，數學思維的人。教師可以通過概念教學將學生培養成為一個“數學人”。本文以《任意角》為例，探究如何在概念課的教學中提升學生的數學核心素養。

一、教材分析

（一） 學情分析

本節課的教學班是省重點中學的高一普通班學生，孩子們都有良好的學習基礎，勇于提出問題，分析問題和交流問題。同學之間相互合作、討論的氛圍較為濃厚。在蘇教版必修一的課本中，學生已經學習了函數的概念以及性質，也學習了指、對、冪函數的圖像以及性質，掌握了研究函數圖象和性質的一般方法。學生在初中已經學習過角的概念。本節課將在學生原有認知的基礎上推廣角的定義以及角的表示方法。同時學生還要構建出本章的大致知識體系，為后續學習整章內容建構宏觀的認知。

（二）教材分析

“任意角”是蘇教版必修四第一章的起始課。本章內容的重點是三角函數。三角函數是繼指、對、冪函數之后的另一個基本函數，是描述客觀周期性變化的重要函數模型，在高中數學中的意義是非常重要的。本課作為三角函數章節的第一節課，其中蘊含的各種數學思想方法，數學核心素養值得我們慢慢體會。其中類比思想，數形結合思想在本課中有著重要的體現，數學抽象，邏輯推理等數學核心素養也深蘊其中。

（三）教學目標

1.學生可以講出任意角的定義，能夠在平面內建立相應的坐標系對角進行分類并進行討論;

2.學生可以于0°至360°之間，找到與已知角度的末端邊緣相同的角度，并確定它是哪個象限;

3.學生能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合。

（四）教學重點

角的概念的推廣，終邊相同角的表示

（五）教學難點

任意角，正角，負角等概念的形成

二、教學過程

（一）創設情境，激發興趣

問題1 同學們，必修一這本書我們學習了哪些有關函數的知識？

生1：學習了函數的概念，表示，性質。然后研究了指數，對數，冪函數模型。

設計意圖：通過這個問題讓學生回顧以前學習的函數模型，以及研究函數的方法，為本章繼續研究三角函數做鋪墊。

問題2 在以前的學習過程中，我發現函數是用于描述客觀世界變化規律的數學模型。它可以用來描述我們生活中的一些現象。孩子們，我們生活中經常會遇到周而復始，循環往復的現象。我們把按照一定規律，不斷重復出現的現象稱為周期現象。那么同學們能不能列舉生活中周而復始，循環往復的現象呢？

生2：潮起潮落，日出日落。

師：這位同學回答的很好。其實在我們日常生活中有很多這樣的周期現象。地球自轉和公轉的日變化和季節變化.我們物理里面的單擺運動，彈簧振子運動中物體的位移呈現周期性地變換，音叉發出的純音振動，線圈在勻速磁場中按逆時針方向勻速旋轉產生的交變電流等等物理現象均是周期現象，無錫太湖邊的摩天輪的運動也是周期現象。我們用什么函數模型來刻畫這種周期現象呢？那么我們必修一所學的指對冪函數模型能否刻畫這種周而復始的現象呢？本章將要學習的三角函數模型將會很好地刻畫這種周而復始的現象。這也是本章最重要的一個學習目標，今天我們為后續三角函數的學習做好準備工作。

設計意圖：讓學生結合生活中的經歷，回憶一些周期現象，激發學生學習興趣。

這幾個物理中的周期現象是后面三角函數研究的重要模型，讓學生感受學科之間的關聯性，深刻了解數學學科的基礎性。提出三角函數讓學生明白本章學習重點，激發求知欲。

（二）意義建構，形成概念

問題3 同學們，今天我們就從大家都玩過的摩天輪開始我們的研究.我們看摩天輪，勻速圓周運動，一圈又一圈周期變化。在轉動過程中如果我想刻畫摩天輪上某一點P的位置，我們要怎么樣描繪它？下面請大家分組討論。

計劃目標：這是一個團隊合作完成，培養孩子們開放性思維的問題。

生3：以摩天輪的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，摩天輪在轉動過程中，點p的坐標在變，用相應的坐標刻畫點P的位置。

生4：以水平線為參照物，用角來刻畫點P位置。

生5：可以用弧長來刻畫，以最低點為起始點，看點P與該點之間的弧長。

師：很好，同學們想法很多.在旋轉過程中，最直觀的變化是角，那我們就先從角的觀點來刻畫點p的位置，我們通過旋轉的角度來確定點P的位置時有哪些困難？

生6：如果摩天輪旋轉超過一圈那么這個旋轉角不好表示。

師：這位同學提的問題非常好，當點P的位置旋轉超過一圈時，旋轉角度就超過我們熟知的角的范圍 0°到360°了。其實，同學們在生活中有沒有接觸過超過這個范圍的角呢？比方說體操運動員旋轉。現在讓我們回想一下中學角度的概念，具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。同時初中教材還有這樣一句話：角可以看做一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形。也就是從運動的觀點看，角可以理解為旋轉而成的，平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形，所旋轉的射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。從運動的觀點給角下定義，角的范圍就可以超過 可以取到任意正角。

問題4 請同學們考慮下面兩個生活中的問題，時鐘走快了15分鐘，應如何旋轉分針。將瓶蓋旋轉30度，瓶蓋是變松了還是變緊了。

生7：將分針逆時針旋轉90度，瓶蓋松緊不確定，因為旋轉方向不定。

師：那么既然旋轉方向不同，最后達到的效果不同，那么我們如何表示不同旋轉方向的旋轉角呢？我們以前的學習經驗中有沒有遇到類似地情況。初中學習正負數時候，數值0右邊的對應數值為正，數值0左邊的數值為負。我們可以類似地將旋轉方向相反的角定為正角和負角。

設計意圖：通過生活中的具體例子，讓學生感受旋轉方向的重要性。學生類比初中正負數的學習過程，得出正負角的定義。數學學習中，類比的思想方法是學習新知識非常重要的方法。

生8：逆時針旋轉是正角度，順時針旋轉是負角度。

師：這位同學回答的很好，當然你們也可以嘗試規定順時針為正角，但規定逆時針為正也符合我們數學習慣，例如初中給平面直角坐標系規定四個象限的時候，它們也分別是逆時針方向的第一、第二、第三和第四象限。即使我們日常生活中也比較偏愛逆時針，水面的漩渦，賽跑時也是繞著逆時針跑，這個跟我們天文地理以及人本身的身體機能習慣有關。數學上這樣規定正角，負角在后面我們學習三角函數會有更深刻的理解。實數有正負數和0，那么角度除了正角度、負角度，我們還知道應該還有零角度。所以，規定若該線不旋轉，則將其視為零角度。截至目前，我們做了一件很重要的事，將0°到360°的角推廣到了任意角。

師：如果我們要確定一個任意角，要知道什么？

生9：旋轉方向，旋轉量

師：前面我介紹說了本章主要是運用三角函數這個數學模型來刻畫周期現象。那么我們都知道研究函數一定離不開平面直角坐標系。同學們，我們將剛剛推廣的任意角放在坐標系中去研究，將角的頂點放在坐標原點，角的始邊與x軸正半軸重合，這樣對角的研究只需要研究角的終邊。角的終邊可以落在坐標系的第一、二、三、四象限，我們將角的終邊落在哪個象限的角就稱為第幾象限角。如果角的終邊落在坐標軸上，稱之為軸線角。軸線角不屬于任何象限角。我們把角放在坐標系中，我們很容易發現研究一個旋轉角只需要研究角的終邊，使問題變得更簡單。

（三）數學運用，加深認識

例1.判斷下面角屬于第幾象限角。

師：在平面直角坐標系中畫出上述角，上述角中有哪些具有共同特征？

生10：角的終邊是重合的，角的終邊是重合的。

師：我們發現了上面不同的對象具有的共同的特征.和同一個角終邊終邊相同的角有無數個，你們覺得接下來我們應該研究什么問題

生11：我們需要研究具有相同終邊的角有什么關系。

師：那你先回答一下上面兩組同終邊的角的關系

生11：

師：有沒有同學可以從這幾個具體例子抽象出與任意角 終邊相同的角的表達式

生11：

師：終邊相同的角的一般形式：，這里面我們要注意的是k是整數，的整數倍從形上面看就是相差了幾圈。寫成集合形式就是

師：由至里分別找到與下面四個角的終邊相同的角度，同時想想在哪個象限。

設計意圖：學生利用象限角的概念進行判斷，鞏固所學的知識。這個問題是上一問題的一般化形式，是數學抽象的過程。數學抽象作為數學6大核心素養之一，在我們平時的教學中需要不斷滲透，不斷引導學生自主地去抽象數學問題，進而描述數學現象，從而解決數學問題。在我們的平時課堂中，教師一定要注重引導學生從具體的數學問題中抽象出一般的數學概念，數學結論的思維，也要著重培養學生從特殊例子中抽象出解決數學問題的一般方法的能力，開發學生遇到問題要透過現象看出問題本質的潛力。

（四）課堂小結

本節課我們從實際生活問題出發，類比初中正負數的定義，將0°到360°的角推廣到任意角，為后面三角函數的學習做了準備。學習過程中同學們通過具體事例得出終邊相同角的一般關系，體會了數學抽象的過程。

三、教學反思

新高考，新課程標準都要求我們注重本學科核心素養，核心素養說明白了就是教給學生一生能帶的走的能力。數學的核心素養要求我們教師教授學生在新情境，新問題下運用所學的數學知識，數學思想方法解決問題。在教學過程中，我深感概念教學的重要性。現在越來越多的學生只注重題目的解答過程與結果，很少關注知識的生發過程，也就很少重視概念課的衍生過程。更有甚者，覺得概念課只需要花幾分鐘介紹一下書本概念，然后不斷練題就行。的確，這樣做短時間可能會掌握比較多的解題技巧，但隨著學習的深入，知識的聯系性加強，這樣的學習只會讓學生知識混亂，邏輯不清，到最后連最基本的定義，概念都不能理解性地說出。數學課首先介紹數學教育的實質內容，同時按照教育法充分反映教育的社會目標。進行章節起始課的教學過程中，如何才能幫助學生在頭腦中能形成良好的認知結構，章節起始課上的數學概念教授一定要注重知識發生發展的過程。讓學生自己探究出新知識，新概念，進而實現化春風為雨，潤物無聲的效果。