高中數學教材中“閱讀與思考”欄目教學探究

官利娟

摘 要：數學教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數學科學與人類發展之間的相互作用，尋求數學發展的歷史軌跡，傳遞數學文化育人價值。筆者以斐波那契數列的介紹為例，進行了“閱讀與思考”材料的教學探究，挖掘材料的數學育人功能。

關鍵詞：閱讀與思考;問題解決;興趣培養;數學與美育

在新教材《普通高中教科書人教A版》中仍保留了“閱讀與思考”欄目，并且在必修和選擇性必修教材中共編入25篇閱讀與思考材料。這些材料有的是介紹數學史，比如函數概念的發展歷程、中外歷史上的方程求解、向量及向量符號的由來、海倫與秦九韶等;有的是教學知識點的拓展，比如集合中元素的個數、幾何命題與充分條件和必要條件、代數基本定理等;有的是學科交叉知識的運用，比如三角學與天文學、畫法幾何與蒙日、振幅、周期、頻率、相位等。

數學教材中的“閱讀與思考”材料旨在了解數學科學與人類發展之間的相互作用，尋求數學發展的歷史軌跡，傳遞數學文化育人價值。但是“閱讀與思考”欄目的閱讀和教學，在不少教師心中卻是仍未引起足夠重視的荒野。筆者以斐波那契數列的介紹為例，進行了“閱讀與思考”教學探究，挖掘材料的數學育人功能。斐波那契數列作為新舊教材中受青睞的探究性閱讀材料，有助于培養學生閱讀和問題解決能力、激發學生數學學習興趣、發揮數學美育功能。

一、探究斐波那契數列，培養數學閱讀和問題解決能力

（一）問題的提出：1202年，斐波那契《算盤全書》中提出了一個有趣的兔子繁殖問題：假設一對初生兔子要一個月才到成熟期，而一對成熟兔子每月會生一對兔子，那么，由一對初生兔子開始，12個月后會有多少對兔子呢？

（二）問題的解答：我們對兔子的繁殖做詳細分析，很容易知道：第一個月這對兔子沒長大，沒有繁殖能力;第二個月小兔子長成大兔子;第三個月這對大兔子生下一對小兔子;第四個月大兔子繼續生下一對小兔子，小兔子長成大兔子，如圖所示，依次類推。

可以看出每個月兔子的總對數構成了一個數列，如下表：

（三）數列的引入：兔子總對數所組成的這個數列有非常明顯的特征，即從第三項起，每一項都是前面相鄰兩項之和。這個數列以兔子繁殖問題而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……，它的遞推公式可以表達為 。

這個數列是意大利中世紀數學家列昂納多·斐波那契在《算盤全書》中首次提出的，為了紀念該數學家，又稱其為斐波那契數列。斐波那契數列在歐美可謂是人盡皆知，美國數學會從1963年起出版了以《斐波那契數列季刊》為名的一份數學雜志，用于專門刊載這方面的研究成果。

（四）設計意圖：斐波那契在書中提出的兔子繁殖問題與實際的兔子繁殖情況有出入，是一個抽象化的數學問題。要解決這個問題，首先需要學生仔細閱讀并分析清楚每個月兔子的生長情況，進而選取樹狀圖和表格的形式發現規律、解決問題。學生在已知的問題情境中，經歷分析問題和解決問題的過程，有助于培養其數學閱讀和問題解決能力。

二、聯系生活實際，激發數學學習興趣

（一）大自然中的斐波那契數：在大自然中，斐波那契數廣泛地存在著，大到星系和颶風，小到細胞分裂，都有斐波那契數列的存在。譬如，百合和蝴蝶花的花瓣數是5;藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草的花瓣數是8;翠雀花 花瓣數是13;金盞和玫瑰的花瓣數是21;紫宛的花瓣數是34、55或89。

更為大家所熟知的是向日葵花的斐波那契數。向日葵的花盤中有兩組螺旋線，一組是按照順時針方向盤繞，一組是按照逆時針方向盤繞，兩組螺旋線彼此鑲嵌，雖然向日葵的花盤有大有小，栽培品種也不相同，種子排列的順時針和逆時針方向、螺旋線的數量也不盡相同，但是往往不會超出34和55，55和89或89和144這三組數字，其中前一個數字是順時針方向盤繞的線數，后一個數字是逆時針方向盤繞的線數。而這三組數據的每組數據都是斐波那契數列中相鄰的兩個數。

不止向日葵懂得斐波那契數列，雛菊的花盤也有類似的數學模式，科學家們在植物的葉、枝、莖等排列中也發現了斐波那契數。植物的這些數學特征都是它們在大自然中長期適應和進化的結果，這已經成了植物生長發育的優化方式。

（二）設計意圖：教師通過例舉大自然中的斐波那契數，引導學生觀察生活和自然，體會數學與自然的聯系，進一步激發學生數學學習興趣。

三、探究數列規律，發揮數學美育功能

（一）斐波那契數列與黃金分割：我們知道黃金分割是一種最能引起美感的分割比例。如果將一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值就是黃金分割。

如圖所示，若C為AB的黃金分割點，則有AC/AB=BC/AC。設AB的長為1，AC長為，則有，可解得。因此黃金分割的比值是，約等于0.618。

我們再來看一組數據：

不難發現，斐波那契數列中的前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618。因此，斐波那契數列又被稱為黃金數列。

“黃金分割”在人體結構、建筑物、國旗、繪畫、優選法等體現美的共性上有很多的應用。譬如，完美人體的頭頂到肚臍的距離/肚臍到腳底的距離=0.618;最協調的臉龐的眉毛到脖子的距離/頭頂到脖子的距離=0.618;生活中拍照時，人物位于相框的黃金分割點處的位置時看起來最美觀。

（二）斐波那契螺旋：如果我們將斐波那契數為邊的正方形拼成一個長方形，在其中每一個正方形中畫一個90度的扇形，連接起來的弧線，稱之為斐波那契螺旋線。由前面的計算，我們知道斐波那契螺旋中兩個相鄰正方形邊長之比都接近黃金分割。因此，斐波那契螺旋堪稱是自然界最完美的經典黃金比例。

斐波那契螺旋線在自然界中大量存在，譬如苗木生長、向日葵種子排列規律和動物繁殖等都與斐波那契螺旋相關。此外，其在建筑、藝術、攝影、影視作品中也被廣泛地使用，在斷臂維納斯、蒙娜麗莎等經典畫作中都能找出斐波那契螺旋線。

（三）設計意圖：亞里士多德曾經講到：“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離。因為美的主要形式家是“秩序、勻稱和確定性”，這些正是數學研究的原則。”斐波那契螺旋作為自然界最完美的經典黃金比例，其體現出數學的和諧、科學、規律之美是進行美育教育的良好載體。我們應當抓住這個載體，充分發揮數學的美育功能，通過斐波那契數的規律探究，結合經典著作的分析，促使學生對美的感受能夠從感性走向理性。

“閱讀與思考”作為教材中的對相關主干知識的補充，既可以單獨研讀，也可與主干知識融合，滲透其育人價值。對于數學史知識和數學家的介紹，可滲透數學文化，發揮數學文化育人價值，例如函數概念的發展歷程、笛卡爾與解析幾何等;對于有探究性質的材料，可作為提升學生閱讀能力、思維能力、問題解決能力、數學學習興趣的載體，例如斐波那契數列、中國古代數學家求數列和的方法;對于學科交叉知識，可作為學生跨學科融合學習的教育載體。雖然課標對“閱讀與思考”沒有具體要求，但是如果我們認真研磨、仔細解讀，在教學中充分發揮其科學價值、人文價值、應用價值和美育價值，定會給課堂帶來生機，讓整個數學學習過程更加完整。

參考文獻

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