解三角形中邊、角轉化問題的淺析

吳清鋒

【摘要】在學習解三角形這一章中，我們可能多多少少會有這樣的想法：新授的內容其實并不難，甚至可以說相對函數等章節來說是比較簡單的，因為很多學生最后概括一下無非就是學習了正弦定理和余弦定理，而且要把它們背出來也并非難事。但是會有更多的學生通過作業和加深會漫漫發現，題目并非我們想象的那么簡單，甚至可以說許多學生在解題過程中會遇到無從下手的感覺.今天，就通過一些比較典型的判斷三角形形狀的例題，一起來感受一下解此類題型過程中有關邊、角之間的轉化和如何進行化邊、化角選擇的問題提出自己一些拙劣的看法。

【關鍵詞】邊;角;三角形;三角形形狀;正弦定理;余弦定理

首先，對解答一些有關判斷三角形形狀的題型，給出自己一個大致的解題思路：1、通過正弦定理、余弦定理等將所有邊化成角;2、通過正弦定理、余弦定理等將所有角化成邊;3、通過化簡，邊、角均還有所保留。對于上述提到的第3個解題思路，已知條件或式子往往具有一定的特殊性，具體因題而異，比較注重已知條件的特征，進行適當的選擇與化簡.這里就舉個最為簡單、直觀的例題（例1）進行一筆帶過，將不進行展開與提升，主要對解題思路1和2進行具體的展開與探討。

當然，這道題對學生來講，考察的僅僅是余弦定理的熟練應用而已，只需把余弦定理熟背，就能很快將此題答案解出，相信絕大部分學生都是沒什么問題的。解答如下：

但是，我們這里要講的不是解答的問題，我們這里不妨來分析下上述所給出的3個解題思路，不難發現，其實已知條件的等式已經符合了第一個解題思路，所有的不需要任何化簡，都已經全是邊長了，但根本無法直接解出本題答案，這就是我們上述所說的要看已知條件或式子的特征，發現與余弦定理有著緊密的聯系，有時候反而會因為這些特殊性導致我們化簡到最后，將邊角均有所保留的情況.這里也只是點到為止，不加擴展，下面我們就通過例題對思路1、2進行具體的展開與嘗試。

此例題首先利用降次公式化簡，部分的化簡解答如下：

化簡到這步，相信很多學生還是可以做到的，再繼續觀察這個等式，發現有邊，又有角，那么接下來就是如何選擇的問題了.我們就對思路1（化成角）和思路2（化成邊）都來進行嘗試：

法一：（利用正弦定理，進行邊化角）

法二：（利用余弦定理，進行角化邊）

上述兩種解題思路，兩種方法都是比較簡便的，但相比而言，可能在運算上選擇法二（角化邊）更為簡單一些，但無可厚非，這兩種解題方法都是需要我們掌握的.

此題相對于上述例2等式上更為復雜一些，但我們同樣也可以去嘗試用思路1和思路2兩種不同的方法去解答.

這里值得一提的是，因為我們要實現所有角全部化成邊，所以首先要對 進行適當處理，然后再用余弦定理實現角到邊的轉化過程.具體解答如下：

當然，這兩種解答過程一對比，從運算的角度看，毫無疑問，相信基本所有的學生都會選擇法一（邊化角），但法二又何嘗不是一種解答呢？

對于本例題，其實深入研究，你會發現其實用思路3（“巧妙的”留角留邊）也是可以解決問題的。

法三就巧妙的運用了正弦定理中的 ，通過等式的特有的特征完成了對三角形形狀的判斷。

參考文獻：

[1]賀斌.對一個數學問題的別證、加強與聯想.數學通訊.2015.