5.5.1兩角差的余弦公式(第1課時)

胡曉翠

一、內容和內容解析

1. 內容

兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

2.內容解析

教科書關于本節三角恒等變換安排了以下內容：兩角差的余弦公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心內容是建立相關的十一個公式，通過探索、證明和初步應用，體會和認識公式的特征和功能，發展學生邏輯推理素養和數學運算素養。

類比5.3節中用到的圓的特殊對稱性，此處用到的是圓的更一般的對稱性，即旋轉對稱性. 這種特殊與一般的關系，蘊含著誘導公式與兩角和（差）公式之間的特殊與一般關系.兩角差的余弦公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式的基礎，為后面公式的推導起了鋪墊作用。

綜合以上分析，確定本節課的教學重點：兩角差余弦公式的應用. 教學難點：兩角差的余弦公式的形成（推導過程）。

二、目標與目標解析

1.目標

（1）讓學生經歷推導兩角差的余弦公式的過程，了解兩角差余弦公式的意義。

（2）能夠掌握兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

（3）學生能夠通過觀察和分析公式的結構特點，從整體上把握公式，靈活地運用公式，抓住角的特點解決問題。

2.目標解析

（1）學生親身經歷了探索過程，加強了新舊知識的聯系，使學生從直觀角度加強對差角公式結構形式的認知。

（2）學生在教師的引導下，探索和證明兩角差的余弦公式，根據圓的旋轉對稱性，結合初中圓的知識以及兩點間的距離公式，以小組合作交流的形式，確定公式的具體形式，再通過例習題，鞏固和加強對公式的理解和應用。

（3）學生在教師的引導下會適當地運用轉化、代換的方法配湊出使用公式的形式，抓住角的特點解決求值、求角、求函數最值等問題。

三、教學問題診斷分析

學生在本節課前已經學習了三角函數的概念、誘導公式、三角函數的圖象與性質等，對三角函數已經有了初步的認知，前面的內容學習的是同一個角的問題，現在繼續學習的是關于兩個角的和與差的三角函數形式，有了前面的基礎，學生學習起來還是比較感興趣的。

學習本節內容時學生可能會在以下方面感到困惑：

1.如何生成兩角差的余弦公式. 這個困惑主要發生在公式生成過程中如何將點坐標和公式聯系在一起，在這個問題中，我們可以引導學生類比5.3誘導公式的探究過程，從形的角度入手研究，再將形的關系代數化，從不同的角度進行表示，體現數形結合的思想方法，最后則體現聯系性，即圖形本身的直觀性質. 本節力圖體現圓的旋轉對稱性與三角函數的內在聯系，從而證明兩角差余弦公式。

2.如何利用平面上兩點間距離公式建立等式關系. 對于這個問題，學生可以在教師的引導下一起完成。

3.如何從公式的結構特點靈活運用公式（包括對公式的正用、逆用、變用）.這也是本節課的重點，在這里需要學生會觀察、會分析角的特點，靈活運用適當的轉化、代換的方法，再結合公式解決問題。

四、教學支持條件分析

使用導學案，引導學生逐步探索兩角差余弦公式，體驗提出問題、分析問題和解決問題的愉悅感。

五、教學過程設計

（一）復習引入

問題1：在初中，我們就知道，，由此我們能否得到cos15°=cos（45°-30°）的值？大家可以猜想，是不是等于？

師生互動：學生回答不等于，cos15°大于0，cos45°-cos30°小于0，顯然不成立。

設計意圖：為研究兩角差余弦公式做鋪墊。

（二）新知探索

1.公式的形成

問題2：預習教科書215頁，由圖5.5-1，你能根據三角函數的定義，寫出點A，P，A1，P1的坐標嗎？

師生互動：學生表示

追問1：圖中弦長AP和A1P1什么關系？你能用兩點間的距離公式表示弦長AP和A1P1嗎？

師生互動：學生結合初中圓的平面幾何知識，根據圓的旋轉對稱性得出，AP=A1P1.在教師的引導下，用兩點間的距離公式分別表示弦長

追問2：由弦長AP=A1P1，你能得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ嗎？如何推導？

師生互動：學生回答能，由AP=A1P1，即，兩邊平方整理得，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ. 教師總結，確定公式的具體形式。

追問3：上述公式在時成立，若時，公式是否還成立？

師生互動：成立，師生共同總結兩角差余弦公式.，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ稱為差角的余弦公式，簡記作C（α-β）。

設計意圖：讓學生親身經歷探索公式的過程，加強學生對公式的理解與記憶，培養學生直觀想象和數學運算的核心素養。

2.公式的應用

師生互動：學生獨立思考，教師巡回指導，提醒學生注意角的范圍，同時請兩位學生到黑板上進行板演，由α，β的范圍知，，則. 同時教師對板演過程規范做出必要的點評與要求。

設計意圖：加強學生對公式的應用與理解，以及使用公式前應做出的必要準備。

（三）歸納總結、布置作業

問題3：請歸納總結本節課的學習收獲

師生互動：學生各抒己見，教師適時補充總結. 這節課我們學習了兩角差的余弦公式，首先要認知公式的結構特征，了解公式的推導過程. 同時也要注意角的范圍，也就是符號問題，學會靈活運用公式，這也是本節課的重點。

設計意圖：讓學生通過總結，反思學習過程，加深對差角余弦公式及其推導過程的理解和記憶。

布置作業：作業本109頁基礎訓練部分

六、目標檢測設計

1.已知，求cosα的值。

設計意圖：提升學生對兩角差余弦公式的靈活應用能力，會觀察已知角和未知角的關系，如本題，從而構造差角公式的結構形式，，最后只需求出的值，在這里我們要注意角的范圍，由題意知，即。

2.設，

設計意圖：本題同上題一樣考察學生對差角公式的運用能力，如何構造差角是本題的難點，對初學差角公式的學生而言，角的構造有一定的運用難度，需要學生多觀察、多思考、多練多做. 如本題，由兩角差余弦公式展開，只需求的正弦值和的余弦值，其中要注意角的范圍。

浙江省紹興市嵊州市嵊州中學 312400