立足數學廣角教學 滲透數學思想方法

黃春香

領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”。數學思想是宏觀的，它更具有普遍的指導意義，而數學方法是微觀的，它是解決數學問題的直接手段，小學數學通常把數學思想和方法看成一個整體概念，即小學數學思想方法。如果教師在小學階段立足數學廣角教學，滲透數學思想方法，可以發展學生的智力、挖掘學生的潛能，全面提高思維素質。下面就以數學廣角中《鴿巢問題》為例，談談我在教學中滲透了哪些數學思想方法。

一、化歸思想

化歸思想是將一個問題由難化易，由繁化簡，由復雜化簡單的過程稱為化歸，它是轉化和歸結的簡稱。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。

例如：在教學《鴿巢問題》時，教師：喜歡“魔術”嗎？。取出大王和小王，還剩下52張牌，每人隨意抽一張，不管怎么抽，至少有2張牌是同花色的。同學們相信嗎？5位同學上臺，抽牌，亮牌，統計。老師為什么猜得這么準呢？今天我們就來研究這個有趣的數學問題。52張撲克牌數量較大，為了方便研究，我們先來研究幾個數量較小的同類問題。

從學生喜歡的“魔術”入手，設置懸念，激發學生學習的興趣和求知欲望，從而提出需要研究的數學問題。這種轉化與歸結的數學思想方法，對每個學生來說并不是與生俱來的，我們在教學中要注意引導，不斷滲透和培養學生，引導學生形成轉化與歸結的習慣，提高解題能力。這里的教學設計就是化歸數學思想的體現。

二、數形結合的思想

數形結合的實質，就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。數形結合的數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

例如：教師：把4根吸管放到3個紙杯里，有哪些放法？教師根據學生回答用圖或數的分解來有序展示學生的記錄。師：在四種放法中，你發現了什么？引導學生觀察，第一種放法中最大數是4，第二種放法中最大數是3，第三種放法中的最大數是2，第四種放法中的最大數也是2。（4，0，0）或（0，4，0）雖然順序不同，但具有相同特點就是最大數是4，歸為一種，教師引導學生進行有序記錄，達到快速有效記錄的目的。根據學生的匯報結果，教師展示學生的記錄。師：你發現了什么？生：四種記錄都有一個共同特點，總有一個杯子里至少有2根吸管。也就是四種放法中，都有一個杯子里不少于2根吸管，可以是2根或2根以上。

兒童的認識規律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成科學概念的過程。數形結合符合人類認識自然，認識世界的客觀規律。剛才的教學片段就是滲透數形結合的思想方法。

三、優化思想

《課程標準》（試驗稿）指出：“學生通過學習，能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法。” 優化思想就是在有限種或無限種可行方案（決策）中挑選最優的方案（決策）的思想，是一個很重要的數學思想。多樣化是優化的基礎，沒有多樣化也就無所謂優化。

例如：把4根吸管放到3個紙杯里，可以放（4，0，0）;（3，1，0）;（2，2，0）;（2，1，1）四種放法;5根吸管放到4個紙杯里，可以有（5，0，0，0）;（4，1，0，0）;（3，2，0，0）;（3，1，1，0）;（2，2，1，0，）;（2，1，1，1）六種方法，如果吸管和杯子數量繼續變多，雖然也是吸管的數量比杯子多1，要找出所有的擺放規律就比較困難，這就需要找到一種最快的方法能滿足總有一個杯子里至少有2根吸管，學生通過交流討論得出先利用平均分的方法。再把剩余的吸管依次放在不同的杯子里。

讓學生自己通過觀察比較得出“平均分”的這種方法是將解題經驗上升為理論水平，進一步強化方法、理清思路。以上教學過程就是一種優化數學思想方法的展示，讓在學生發現多種擺法后能找到一種最快最好的擺法。小學數學教學中教師有意識地滲透和訓練，讓學生在反思過程中逐步頓悟。

四、建模思想

“數學模型”是一個含義很廣的概念，粗略的講，數學模型是指參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一個數學結構。

例如：5只鴿子飛進了3個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。你能把剛才分的過程用算式表示嗎？讓學生通過猜測、驗證、分析推導出《鴿巢問題》的一般模型就是用除法算式表示，（如：5÷3=1......2）剩下的兩只鴿子從最不利的情況飛到不同的鴿巢里，同樣滿足至少有2只鴿子飛進了同一個鴿巢里。（或總有一個鴿巢里至少飛進了2只鴿子）

這就是根據實際問題的分析，形成數學語言模型，并用建立在頭腦中的模型規律解決實際的問題。這種思想就是重要的建模思想，培養了這種數學建模思想，很多實際生活中的“模型”問題就能輕易地利用數學知識來解決了，許多數學知識的理解也變得簡單了。

五 、推理思想

推理思想是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理思想作為數學的一個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，推理能力作為數學發現的一種重要方法，在小學教學的探究學習和再創造學習中應用更為廣泛。

例如：在教學《鴿巢問題》時，教師不管是把5根吸管放在4個杯子里，5只鴿子飛進3個鴿巢里，7本書放在2個抽屜里，11本書放在3個抽屜里，余數不管是1還是其他的數，總有一個杯子（鴿巢、抽屜）里有至少有商加1的物體，引導得出【物體數÷抽屜數（杯子數、鴿巢數）=商......余數（物體數大于抽屜數）】，至少數不是余數加1，而是商加1的結論，在整除時，至少數剛好就等于商。

數學在當今市場經濟和信息化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成，但是就人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。

小學數學廣角的教學中很多時候不僅包括以上幾種數學思想方法，還包括有序思想、排列組合思想、集合思想、統籌思想等等多種思想方法。教師在數學廣角等教學過程中要經常利用實物、教具、圖表、生活經驗、幽默語言等直觀教學手段來更好地集中學生的注意力，引導學生更好地感知事物，讓數學思想方法在學生心底“萌生”。