Matlab在中學數學函數最值教學的應用

摘要：針對中學數學中的常見函數最值問題，文中探討了應用Matlab工具求解函數的最值的教學方法。文中的研究內容在教學內容和教學手段上都有一定的參考價值。

關鍵詞：函數最值;一次函數;二次函數;三角函數;Matlab

1 引言

最值問題是在生產、科學研究和日常生活中常會遇到的一類特殊的數學問題，函數的最值在中學數學中占有相當重要的地位。求解中學數學函數最值問題的一般方法有：觀察法、二次函數法、判別式法、平均不等式法、非負數概念法、反函數法、三角法、數形結合法、導數法。本文將Matlab工具（也可以使用開源的Python軟件）引入到中學數學最值問題求解的教學與實驗中，對教師和學生的教學和學習都有很大幫助。

2 Matlab在中學數學函數最值中的應用

應用Matlab能夠繪制函數的圖象，從圖象中能夠很直觀地看到函數的走勢，能夠讓學生感性地認識函數的最值點、單調性、凹凸性等函數性質。

2.1 一次函數的最值求解

求解一次函數的最值問題，需要根據一次函數所給出的的解析式，得出相對應一次函數圖像的基本性質（研究四種性質：定義域、值域、單調性、奇偶性），并根據參數k，b對一次函數圖象的影響，可以得到一次函數在區間上的最值點。

一次函數y=kx+b的最值在區間[m， n]的兩端點處取得，編寫一次函數圖象求解最值m文件為：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（k， b， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=k.*x+b;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求函數y=2x-5在區間[-4，10]的最值，則在命令窗口口輸入：

>> [fmax， fmin， xmax， xmin]=flinear（2，-5，-4，10，0.1）

得到函數最值為fmax =15，fmin =-13，xmax =10，xmin =-4。

2.2 二次函數的最值求解

對于二次函數的最值問題，其定義域、值域、單調性、奇偶性、圖像的對稱性、圖像與軸的交點情況等是需要考慮。求解二次函數y=ax2+bx+c （a≠0）在區間[m， n]的最值，可以編寫二次函數求解最值m文件為：

function [fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（a， b， c， m ，n， t）

x=m：t：n;

y=a*x.*x+b.*x+c;

fmax=max（y）;

fmin=min（y）;

xmax=x（find（y==fmax））;

xmin=x（find（y==fmin））;

figure;

hold on;

plot（x，y）;

plot（xmax，fmax，’ro’）;

plot（xmin，fmin，’ro’）;

text（xmax-20*t，fmax-20*t，[‘最大值’，num2str（fmax），’（‘，num2str（xmax），’，’，num2str（fmax），’）’]）;

text（xmin+20*t，fmin+20*t，[‘最小值’，num2str（fmin），’（‘，num2str（xmin），’，’，num2str（fmin），’）’]）;

hold off

求解函數y=-2x2+5x+6在區間[-10， 10]的最值，則在命令窗口輸入：

>>[fmax， fmin， xmax， xmin]=fquadratic（-2， 5 ， 6， -10， 10， 0.1）

得到求解結果為fmax =9.1200，fmin =-244，xmax =1.3000，xmin =-10。

2.3 三角函數的最值求解

利用Matlab繪制三角函數的圖象，有助于學生直觀地理解三角函數值的變化規律，便于根據規律找出三角函數的最值。如：應用Matlab求函數的最大值和最小值。

三角函數的定義域R，由于三角函數為周期函數，那么只要在一定合適的區間內求函數的最值，該值就對應為整個定義域的最值。設區間x=[-2π， 2π]，其中pi為圓周率π，步長為0.1π。在Matlab的命令窗口輸入：

>>x=-2*pi：0.1：2*pi

>>y=（sin（x）-2）.*（cos（x）-2）

>>fmax= max（y）

>> fmin=min（y）

得到求解結果為最大值fmax = 7.3282，最小值fmin =1.6717。

2.4 函數導數的符號求解

用導數法求解函數的最值時需要對函數進行求導運算，有些函數的導數比較復雜，如果需要快速地檢驗求導結果是否正確，可以應用Matlab符號函數微分運算進行求導。

Matlab的函數diff（） 能夠求函數的導數，它的調用格式為：

difvn=diff（f，‘v’， n）。其中，f為函數，v為自變量，n為導數的階數。

如：求函數的一階導數和二階導數。

在Matlab的命令窗口輸入：

>>sym x;

>> y=x*exp（x^2）;

>> dif1=diff（y，1）;

>> dif2=diff（y，2）;

得到dif1=exp（x^2）+2*x^2*exp（x^2），dif2 =6*x*exp（x^2）+4*x^3*exp（x^2），那么函數的一階導數為，二階導數為。

參考文獻：

[1]吳守江. 最值問題[J]. 中學數學教學參考. 2019（1-2）：138-141.

作者簡介：潘晶晶，女，理學學士，中小學二級教師，主要研究方向：中學數學教育教學方法