淺談幾種圓錐曲線離心率的求法

吳明志

摘要：近些年高考題和各地模擬題中有關圓錐曲線問題的一個高頻考點就是求離心率，本人嘗試從近些年的考題中找出一些此類問題的常用的幾種方法，就是利用各種比如幾何性質、圖形特點等等的條件通過轉化成有關離心率的方程式或者不等式來求圓錐曲線的離心率或離心率的取值范圍，以期能在解決問題時有所幫助。

關鍵詞：圓錐曲線;離心率;方程式;不等式

在圓錐曲線的題型中求離心率的題目是近些年全國卷新高考中經常考查的題型，其對于新高考試卷中的重要性不言而喻，同時也是高考中的考查核心素養的一個關鍵問題和轉化、函數、方程等數學思想，針對這類問題的求解思路是由條件求出方程和不等式，一般是兩種情況：1、是由條件來求出離心率;二是由條件來求離心率取值范圍的問題。因為它用到圓錐曲線中很多的條件，方程不等式等問題等等，于是就產生了在解決問題中的情況比較復雜，在求解過程中無從下手。以下是從這些年的一部份高考題與各地的質檢題的探究、解答，探求對解決問題比較有用的一些方法和策略，期望可以拋磚引玉，撥云見日。

一、根據條件先求出a，c或構造一個關于a、b、c、e的齊次方程式求e，利用e=求解。其關鍵是找出a，c的兩個關系式從而求e.這類問題的難點在于找到相關的關系變量或幾何性質從而建立其關系式。

例1.（2017全國）已知雙曲線C：的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點.若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________.

這道題目可以作再用余弦就可以列出方程，利用其關系列出方程從而求出一個關于e的方程。

例2.如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一截口曲線，即橢圓，則該橢圓的離心率為________.分析：由圓柱的截面與底面成45°角的幾何性質，可得.

二、有關圓錐曲線的離心率取值范圍的題型

此種題型為近些高考的的難點，它的核心是怎么根據題目所給的條件列出方程或不等式的關系式來求出e的取值范圍.經常嘗試由以下兩種方法進行探究：1、考慮從圓錐曲線的幾何性質和它的相關量比如夾角、邊長的大小等;2、是通過圓錐曲線本身的條件以及幾何性質等列出不等式.這種方法一般從以下幾個方面考慮問題：

（1）由已知條件直接找出一個不等式來求e

例3.已知F1，F2為橢圓=1（a>b>0）的兩個焦點，B為橢圓短軸的一個端點，，則橢圓的離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? 分析：根據條件可以得到b2≥2c2，就可以求解.

（2）利用條件轉化為函數來求離心率取值范圍

例4.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為 ? ? ? ? ? ? ? ?分析：由橢圓條件可得二次函數，-2≤x≤2，就可以求出取得最大值6。

（3）利用三角形三邊關系

例5.（福建）雙曲線 ?的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分析：由條件可以求出就可以解決。這道題目是由三角形兩邊和大于第三邊和兩邊差小于第三邊的性質來解決此類問題。

（4）由一些特殊的不等式性質來列出不等式解決問題

例6.（2021·東北三校第一次聯考）已知橢圓（a>b>0）的右焦點為F（c，0），上頂點為A（0，b），直線上存在一點P滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分析：

本題根據橢圓的性質可以求得，從而就可以求出e的取值范圍;如果我們考慮，通過設橢圓上的點，注意到橢圓本身的范圍，也可以求出離心率e的范圍。這類問題些也有通過如果我們通過橢圓或雙曲線上的點，注意到本身的范圍，從而求出離心率e的范圍.

（5）利用三角函數的特點來求解

例7.已知F1，F2是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的取值范圍為

這個問題主要是化歸的數學思想，針對題目的條件可設，由余弦定理可得：找到相關系量代入就可解決問題.

近些年的高考題和各地的有關圓錐曲線離心率的模擬題中，對于這種問題的處理，很多學生會覺得無從下手。本文嘗試探索出幾種解決這類問題的一些思路，期望大家能在解決此類問題的過程有一些幫助。

參考文獻：

[1]聞杰.《神奇的圓錐曲線與解題秘訣》是年浙江大學出版社出版.2013

[2]張楊文.《高考數學你真的掌握了嗎？圓錐曲線》清華大學出版社.2014