例說函數背景下的不等式證明

劉天順

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-24-452

在數學課程改革以前，命題者經常將數列與不等式結合在一起命制試題，并且這一類試題難度大，對不等式證明的要求高（如放縮法的運用），有時還有很強的技巧性，常常作為高考的壓軸題。在數學課程改革以后，數列的課時少了，不等式證明的要求降低了，在這樣情況下，在數列背景下命制不等式證明試題的可能性降低了。從近幾年高考試題看，在函數背景下考查不等式的證明成為一種新的命題趨勢，以下將結合幾道具體試題對函數背景下的不等式證明進行分析，以便幫助教師把握這類試題的特點與規律，進行有針對性的復習。

首先要考慮的是，在函數知識中哪些地方經常出現不等式的結構？通過梳理函數知識可以發現，在函數知識中經常出現不等式的結構有三個地方：一是函數的單調性的判斷;二是函數在某一區間上函數值取值范圍的判斷（如函數在某個區間上函數值總大于或小于某個具體的數值）;三是函數在定義域內某一點處函數值的判斷（如函數在某點處的函數值總大于或小于某個具體的數值）。

通過上述四個例題可以看出，函數背景下的不等式證明對學生來說有兩個主要的挑戰，一是要善于觀察出不等式的結構特征，由不等式的結構去構造相應的函數，將不等式證明的問題轉化為對函數的有關性質研究的問題;二是要掌握有關函數性質研究的知識，掌握對有關函數性質研究的方法，積累對有關函數性質研究的經驗。前者主要考查學生的轉化與化歸的能力;后者主要考查學生對函數的有關知識和性質掌握情況。