淺談高中數學競賽解題思維

季遠林

摘要：高中數學知識的抽象性較強，特別是競賽題目，其難度更高，但是只要學生掌握正確的解題思維，其才能夠在解答數學題目時做到游刃有余。本文即是從引導學生學會高效審題入手，結合具體題目對特殊值解題思維法、逆向解題思維法以及構造解題思維法進行闡述，以供大家參考。

關鍵詞：高中數學;數學競賽;解題思維中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-27-075

隨著時代的發展和新課改的不斷推進，傳統的高中數學教學模式已不再滿足當今時代的教學發展需要。而今的高中數學教學不再單一的注重數學知識的傳授，更加注重學生解題思維的培養。因為只有提升學生自身的解題思維能力，學生才能夠更加深入地學習和理解高中數學知識，也才能夠更加嫻熟地運用數學知識。從整體而言，數學競賽題目的難度是普遍高于日常普通數學考試的，但是數學競賽重在鍛煉學生們的思維能力，而不是提高解題難度，這才是開展高中數學競賽的初衷和目的。因此，借助高中數學競賽題目的方式鍛煉學生們的解題思維能力屬于一種很好的教學方法。筆者結合多年的教學經驗，針對高中數學競賽解題思維教學進行深入地分析與研究，認為可從以下幾個方面著手。

一、特殊值解題思維法

所謂特殊解題思維法，指的就是通過特殊值帶入的方式進行解題。這種解題思維方式雖然偏于極端，但卻是一種非常有效的解題思維。學生在遇到設定函數取值范圍的這一類題目時，可以采用該方法進行解題。需要注意的是，并不是所有涉及到函數范圍的題目都可以運用極限解題思維，這一點需要區分，否則不僅會誤導學生思維，而且還會白白消耗學生們的解題時間。一般而言，特殊值解題思維法主要應用于選擇和填空等小題目的作答。

例如這道題：已知f（1-x）/（1+x）=（1-x2）/（1+x2），則f（x）的解析式可取為（）Ax/（1+x2） B-2x/（1+x2） C2x/（1+x2） D-x/（1+x2）。這道題目的解題思路極為明確，先設（1-x）/（1+x）=t，而后反向運用x代替t，并帶入上述等式，最終可以得出C選項正確。但是，這種解題思路比較費時耗力。因為上述為函數等式，所以就可以選擇特殊值法進行作答。那么，在具體選擇哪一個特殊值呢？這就需要學生根據具體的題型而定。比如這道題中，學生就可以取x=0的特殊值，這樣對于后續的計算最為方便。通過特殊值帶入可以得出f（1）=1的結論。此時可以繼續將x=0帶入A、B、C、D四個選項的解析式中進行求解，只有C選項等于1，則可判斷出C選項為正確答案。如此既提高了解題的速度，又提高了解題的效率。

二、逆向解題思維法

所謂逆向解題思維法，指的是一種將問題倒過來思考的解題方法。很多時候，我們發現正向無法解題，或者說通過正向的方式解題比較困難，我們就可以嘗試通過反向的方式進行解題。所謂反向解題，就是要調轉自己的思維，不要為題目本身所束縛。其實，在上述特殊值解題思維法的舉例當中，也應用到了逆向解題思維法。即在特殊值帶入構建等式之后，通過將特殊值帶入選項的方式進行反向論證，如此也屬于是對逆向解題思維的一種應用。通常的逆向解題思維法多應用于題目論證，下面就以證明題為例對此方法進行闡述。

例如這道題，已知a、b、c是三個正整數，而且b-a=c-b，那么請證明c2-ab-b2+xz=b2-xz-a2+bc。如果單看這道題目以及所給出的題目關系，會感覺有些混亂，因此感到毫無頭緒。但是通過挖掘題目當中的關鍵信息，比如b-a=c-b，我們可以斷定a、b、c之間成等差數列的關系。如果我們再對最后的證明結果進行變式，就會發現最終的證明結果可以轉換為2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc。這就相當于是要證明c2-ab、b2-xz、a2-bc三者之間互成等差關系。搞清楚題目的本意之后，即可思考解題方法。此題目，如果從2b=a+c的角度切入，則難以得出2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc的結論，因為我們日常所做題目多是從繁到簡，而絕非從簡倒繁。所以在解答該道題目時，就應當通過反證的方式進行切入，即從2*（b2-ac）=c2-ab+a2-bc得出2b=a+c的結論，此便是逆向解題思維法。

三、構造解題思維法

所謂構造解題思維法，指的是根據已有的題目條件進行方程構造、圖像構造、函數構造等方式，進而得出題目結論的一種解題思維方法。其實在高中數學競賽題目當中，存在諸多條件簡單的數學題目。高中學生都清楚，題目越簡單，解答起來就會越難，因為題目簡單，解題條件就會減少，故而解答起來難度會有所增加。遇到條件簡單的題目，教學老師可以引導學生通過構造的方式進行解題，從而將簡單的題目條件豐富起來，從而增加解題的思路和途徑。例如下面這道題：求函數f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）的值域。這道題目就一句話，條件也只有一個，非常的簡單。但是僅通過給出的條件并不能實現對該道題目的作答，所以就需要根據題目構造條件。f（x）=（5+sinx）/（6-cosx）可以看做是（6，5）與（cosx，-sinx）連線的斜率，如此一來，此道題目也就變換成為求取（6，5）與（cosx，-sinx）連線斜率的最大值和最小值。僅是這么一個簡單的構造轉換，才使得這道數學題目有了新的解題方向。

除了以上所提到的三種高中數學競賽題目解題思維之外，還包括很多種其他的數學解題思路，比如化繁為簡法、有序排列法、關系影射反演法、動靜結合法等，此處不再一一贅述。但是無論教導學生學習哪一種數學解題餿味，教學老師都要與具體的高中數學題目相結合，如此才能加深學生對于相關數學解題思維的學習與認識。其次，教學老師要注重引導學生學會審題，這是保證學生有效運用各種解題思維的前提和關鍵。在此基礎上，還要加強學生的課下練習，從而不斷強化學生自身的高中數學解題思維和解題能力。

參考文獻

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